Užitečnost úzkého vztahu
mezi pozitivně
semidefinitními maticemi a konečnými soustavami vektorů v
euklidovském
prostoru ukážeme na příkladech maticových
nerovností na straně jedné a
na úplném popisu vztahů mezi délkami vektorů
biortogonálních bází,
vztahů mezi úhly výšek sférického simplexu
a na úplné charakterizaci
možné struktury rozložení ostrých, pravých
a tupých vnitřních úhlů
simplexu na straně druhé. Pravoúhlé simplexy a
cyklické simplexy řeší
speciální případy problému najít při
dané souvislé a spojující síti na
simplexu ten simplex, který má největší objem.
Netupoúhlé simplexy (jejich každý
vnitřní úhel je ostrý nebo pravý)
úzce souvisejí s geometrickým
znázorněním vážených neorientovaných
grafů, ale překvapivě i s odporovými elektrickými
sítěmi. V teorii
matic jsou jim ekvivalentní (symetrické) M-matice,
známé z numerické
lineární algebry. Souvislost s neorientovanými
váženými grafy
prostřednictvím tzv. Laplaceových matic umožňuje
grafové pojmy převést
na pojmy maticové (např. algebraická souvislost).
