Sylabus and reference k prednasce

Geometricka teorie modelu

Literatura k prednasce:

Hlavni text: Vedlejsi texty: Doplnujici literatura o zakladnich pojmech teorie modelu:

1. prednaska:

Historie: spektrum teorie I(kappa, T), Morleyho veta, Shelahova teorie stability a teorie klasifikace, Zilberuv geometricky pristup, Hrushovskeho aplikace v diofanticke geometrii.

Otevreny problem: Vaughtova hypoteza.

Zakladni konvence: jazyk 1. radu s rovnosti, vetsinou spocetny. Teorie: bezesporne, vetsinou spocetne.

Pojmy z klasicke teorie modelu: homomorfismus, automorfismus, isomorfismus, vnoreni a elementarni vnoreni struktur. Definovatelnost s parametry a bez parametru. Definovatelnost a automorfismy. Elementarni ekvivalence.

Priklady struktur kategorickych v nespocetne mohutnosti: vektorovy prostor nad spocetnym telesem, algebraicky uzavrena telesa pevne charakteristiky.

Pregeometrie (matroid) a geometrie. Priklady: afini a projektivni geometrie. Konstrukce geometrie z pregeometrie.

Algebraicky uzaver mnoziny v obecne strukture.

DU:
(1) Nasobeni neni definovatelne v realnych cislech se scitanim.
(2) Indukovane struktury na obecne podmnozine M (ne nutne podstrukture) kartezskeho soucinu nejake struktury N.
(3) Vztah mezi algebraickym uzaverem ve smyslu t. modelu a mezi linearnim/afinim obalem ve vektorovych prostorech.

2. prednaska

Algebraicky uzaver v prazdne strukture a ve strukturach elementarne ekvivalentnich (Z,suc).

Eliminace kvantifikatoru pro vektorove prostory. Dusledek: algebraicky uzaver mnoziny A je nejmensi linearni podprostor obsahujici A.

Priklad: afinni geometrie na vektorovem prostoru.

Obecna konstrukce geometrie z pregeometrie (jako konstrukce projektivni geometrie).

Lokalizace pregeometrie.

DU:
(1) Lokalizace afinni geometrie je pregeometrie dana alg. uzaverem.
(2) Dukaz s pouzitim automorfismu, ze alg.uzaver = Span na vektorovych prostorech (E.Jerabek).

3. prednaska

Definice minimalni struktury. Priklady: modely Th(Z,suc), vektorove prostory, algebraicky uzavrena telesa.

Veta: algebraicky uzaver v minimalni strukture tvori pregeometrii.

Nezavisle mnoziny, baze a dimenze v pregeometrii. Zakladni fakta o dimenzi. Definice modularni a lokalne modularni pregeometrie.

Pr.: algebraicky uzavrena telesa nejsou lokalne modularni pregeometrie (jediny znamy priklad takovych struktur "ze zivota").

DU:
(1) Pro jake struktury M plati: Je-li relace R fixovana vsemi automorfismy M ktere fixuji prvky a_1, ..., a_k, pak R je definovatelna z parametru a_1, ..., a_k?
(2) Dimenze a (lokalni) modularita ve vektorovych prostorech (afini i linearni uzaver).

4. prednaska

Charakterizace modularnich pregeometrii.

Typ n-tice a obecny typ. Saturovane struktury. Nerozlisitelne mnoziny ve strukturach. Homogenni struktury.

Nezavisle mnoziny v minimalnich strukturach jsou nerozlisitelne.

Minimalni struktury nekonecne dimenze jsou saturovane.

DU
(1) Dukaz charakterizace modularity.

5. prednaska

Vlastnost f.c.p. (finite cover property). Definice silne minimalnich struktur. Priklad: teleso komplexnich cisel.

Homogeni struktury. Minimalni struktury jsou homogeni. Lema: Kazdou bijekci mezi bazemi pregeometrie minimalni struktury lze rozsirit na automorfismus cele struktury.

6. prednaska

Pro A, B podmnoziny minimalni struktury: elem. isomorfismus mezi A a B lze rozsirit na elem. isomorfismus mezi cl(A) a cl(B).

Prvo-modely (prime models) a atomicke modely. Pr.: Q neni prvomodel ale algebraicky uzaver Q ano. Veta: prvomodel je atomicky.

Pro spocetny M: M je prvomodel prave kdyz je atomicky. Dva spocetne, atomicke, elem. ekvivalentni modely jsou isomorfni.

Stoneuv prostor S_n(A) n-typu nad mnozinou A a topologie na nem. Izolovane typy.

Spocetne kategoricke struktury: veta Ryll-Nardzewski, Engeler a Svenonius.

Silne minimalni teorie (s nekonecnymi modely) je kategoricka v kazde nespocetne mohutnosti.

DU:
(Z,+) neni prvomodel ale (Z,+,1) ano.

7. prednaska

Morleyho rank RM definovatelnych mnozin v silne minimalni strukture nekonecne dimenze. Nezavislost na konkretnim saturovanem modelu ci na konkretnich parametrech definice.

Monster model (= universalni model).

Zakladni vlastnosti RM, Morleyho stupen (= nasobnost) definovatelnych mnozin.

Ekvivalentni induktivni definice RM.

8. prednaska

Interpretovatelnost, struktura M^{eq} (M s imaginarnimi prvky) a jeji zakladni vlastnosti.

Kanonicka baze, eliminace imaginarnich prvku.

Zilberova hypoteza a Hrushovskeho protipriklad, Zariskeho struktury.

Pseudo-roviny, Zilberova veta o slabe trichotomii.

Parametricke tridy rovinnych krivek v silne minimalnich strukturach, dimenze mnoziny parametru v lokalne modularnich strukturach.

9. prednaska

Interpretace pseudo-roviny v silne minimalni strukture, ktera neni lokalne modularni.

Grupova konfigurace, interpretace nekonecne grupy v silne minimalni, netrivialni, lokalne modularni strukture.