Number of visits: 21803        Start of counting: 03-11-2006        Last modification: 13-03-2009
© 2000 - 2009   Jiri Stary        Česky  English

Řešení úloh popsaných variačními nerovnostmi metodami typu FETI

V rámci projektu byly postupně navrženy kvalitativně nové, numericky i paralelně škálovatelné algoritmy pro řešení variačních nerovnic a pro řešení úloh konvexního kvadratického programování s ohraničením ve tvaru rovností. Základem těchto výsledků je jednak analýza klasických výsledků pro FETI metody, jednak modifikace známých algoritmů pro řešení úloh kvadratického programování, které byly zlepšené tak, že pro ně bylo možno dokázat výsledky o rychlosti konvergence závisející pouze na podmíněnosti Hessiánu, bez ohledu na vazby, které mohou být dokonce závislé. Po prvních experimentálních výsledcích a výsledcích týkajících se optimality vnitřní smyčky se nakonec podařilo dokázat optimalitu i pro úplné algoritmy, založené na diskretizaci pomocí FETI a FETI-DP metod. Další důležitou charakteristikou těchto algoritmů je to, že teoretické výsledky zůstávají v platnosti i pro semikoercivní problémy, které popisují například rovnováhu soustavy těles s volnými tělesy. Algoritmy byly otestovány na různých klastrech a jejich numerická i paralelní škálovatelnost byla ověřena na problémech od 50ti tisíc do více než osmi milionů neznámých se dvěma až 128 procesory.

V roce 2005 byla navržena nová varianta FETI, nazvaná Total FETI [C12], která realizuje Dirichletovy podmínky pomocí Lagrangeových multiplikátorů, takže ji lze velmi snadno implementovat. Byla odeslána zásadní práce [C13] o škálovatelnosti FETI pro variační nerovnice, s důkazem, že řešení lze nalézt v O(1) násobení matic a vektorů, tedy s lineární složitostí. Byly dokončeny numerické experimenty na modelových úlohách, které byly zpracovány spolu s teorií v práci [C14]. Výsledky byly referovány na několika významných konferencích, vesměs jako pozvané plenární přednášky, keynote lectures, a přednášky v minisymposiích. Kontaktní algoritmy byly také otestovány na řešení modelu kompozitu s vloženými a vlepenými inkluzemi [C11] a na modelové úloze diskretizované metodou hraničních prvků [C9]. Byl otestován hierarchický přístup k řešení úloh tvarové optimalizace v magnetostatice [C15,16].

Publikace

  • [C 1] Z. Dostál, D. Horák: Scalability and FETI based algorithm for large discretized variational inequalities. Mathematics and Computers in Simulation 61, 3-6 (2003), pp.347-357. ISSN: 0378-4754. IF 0.253.
  • [C 2] Z. Dostál, D. Horák: Scalable FETI with Optimal Dual Penalty for Semicoercive Variational Inequalities. Contemporary Mathematics 329 (2003), pp.79-88.
  • [C 3] Z. Dostál: A proportioning based algorithm with rate of convergence for bound constrained quadratic programming. Numerical Algorithms 34, 2-4 (2003), pp.293-302. ISSN 1017-1398. IF 0.438.
  • [C 4] Z. Dostál, D. Horák: Scalable FETI with Optimal Dual Penalty for Semicoercive Variational Inequalities. Contemporary Mathematics 329 (2003), pp.79-88. ISBN 0-8218-361-1.
  • [C 5] Z. Dostál, D. Horák, O. Vlach: A scalable FETI based algorithm for numerical solution of variational inequalities with applications to composites with inclusions. In: I. Herrera, D. E. Keyes, O. B. Widlund, R. Yates (eds.): Domain Decomposition in Science and Engineering, 14th International Conference on Domain Decomposition Methods. Published by National Autonomous University of Mexico, Mexico City, 2003, pp.395-402. ISBN 970-32-0859-2.
  • [C 6] Z. Dostál, D. Horák, V. Vondrák: Paralelní řešení kontaktních úloh a úloh kontaktní tvarové optimalizace metodou rozložení oblastí založenou na dualitě. Engineering Mechanics/ Inženýrská mechanika, Number 6, Volume 10/2003 (vyšlo 15. ledna 2004), pp.455-465. ISSN 1210-2717.
  • [C 7] Z. Dostál, D. Horák: On scalable algorithms for numerical solution of variational inequalities based on FETI and semi-monotonic augmented Lagrangians. In: R. Kornhuber, R.H. W. Hoppe, J. Periaux, O. Pironneau, O. B. Widlund, J. Xu: Proceedings of DDM15. LNCS, Berlin, 2003, pp.487-494.
  • [C 8] Z. Dostál, D. Horák: Scalable FETI with Optimal Dual Penalty for a Variational Inequality. Numerical Linear Algebra with Applications 11, 5-6 (2004), pp.455 - 472. IF 0.514. ISSN: 1070-5325. ¨
  • [C 9] Z. Dostál, D. Horák, D. Stefanica: A scalable FETI algorithm for a coercive variational inequality. IMACS Journal Applied Numerical Mathematics 54, 3-4 (2005), pp.378-390. ISSN: 0168-9274.
  • [C10] Z. Dostál, D. Horák, R. Kučera, V. Vondrák, J. Haslinger, J. Dobiáš, S. Pták: FETI based algorithms for contact problems: scalability, large displacements and 3D Coulomb friction. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 194 (2005), pp.395-409 .
  • [C11] Z. Dostál, D. Horák, O. Vlach: FETI based algorithms for modelling of fibrous composite materials with debonding. Zasláno do Mathematics and Computers in Simulation.
  • [C12] Z. Dostál, D. Horák, R. Kučera: Total FETI - an easier implementable variant of the FETI method for numerical solution of elliptic PDE. Zasláno do Communications in Numerical Methods in Engineering.
  • [C13] Z. Dostál, D. Horák: Theoretically supported scalable FETI for numerical solution of variational inequalities. Zasláno do SIAM Journal on Numerical Analysis.
  • [C14] Z. Dostál, D. Horák a D. Stefanica: A Scalable FETI-DP Algorithm for Semi-coercive Variational Inequalities. Zasláno do Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.
  • [C15] Z. Dostál, D. Horák, D. Stefanica: Quadratic Programming and Scalable Algorithms for Variational Inequalities Zasláno do ENUMATH.
  • [C16] J. Bouchala, Z. Dostál, M. Sadowská: Solution of boundary variational inequalities by combining fast quadratic programming algorithms with symmetric BEM. Zasláno k publikaci ve sborníku z 5th UK Conference on Boundary Integral Methods, Liverpool, červen 2005.
  • [C17] Z. Dostál, D. Horák, D. Stefanica: An Overview of Scalable FETI—DP Algorithms for Variational Inequalities. Zasláno k publikaci ve sborníku konference DDM16, New York, leden 2005.
  • [C18] D. Lukáš: A multigrid method for coupled optimal topology and shape design in nonlinear magnetostatics. Submitted to the Proceedings of ENUMATH 2005, 8 pages.
  • [C19] D. Lukáš: Fast optimal topology and shape design in magnetostatics. SNA 2005, pp.53-57.