Metody Schwarzova typu pro řešení soustav vznikajících
při
řešení úloh mechaniky, vedení tepla, termomechaniky
a podobně
Důležitou třídou metod řešení MKP soustav jsou metody Schwarzova typu nebo jinými slovy metody, které využívají rozklad množiny stupňů volnosti určený podoblastmi, které se obecně mohou překrývat. Rozklad množiny stupňů volnosti umožňuje dekompozici datových struktur a paralelizaci iteračních metod typu metody sdružených gradientů (CG) či GMRES, ale také zavedení účinných a paralelizovatelných předpodmínění využívajících výpočet korekcí z podprostorů.
Na základě obecného schématu jednoúrovňových Schwarzových metod či dvouúrovňových metod s rozkladem doplněným aproximací úlohy na hrubé síti byly vytvořeny řešiče obsahující řadu nových prvků: nepřesné iterační řešení podúloh nelineárními iteracemi typu metody sdružených gradientů, použití nesymetrických multiplikativních variant předpodmínění i při řešení soustav se symetrickou positivně definitní maticí, zobecnění metody sdružených gradientů s explicitní ortogonalizací nového směru hledání vůči zvolenému počtu předchozích směrů, využití agregací pro konstrukci víceúrovňových Schwarzových metod.
Všechna uvedená specifika byla prakticky vyzkoušena, ale také podpořena odpovídající teorií [A2,3,7,8,12]. Řešiče využívající uvedené metody byly programovány pomocí knihovny Message Passing Interface (MPI) a testovány především na řešení úloh pružnosti se zahrnutím úloh vycházejících z inženýrské praxe, např.[A14]. Testovací výpočty byly uskutečněny na klastrech PC i na paralelních počítačích se sdílenou pamětí zhruba do počtu 32 procesorů, přičemž ukázaly dobrou numerickou i paralelní škálovatelnost při řešení úloh do 10 milionů stupňů volnosti (neznámých). Zachování škálovatelnosti pro větší počet procesorů by zřejmě bylo možné jen při řešení ještě rozsáhlejších úloh.
Výhodou Schwarzových metod je značná flexibilita, možnost využití iteračních metod i pro nepřesný výpočet korekcí z podprostorů, případně i vyvažování zátěže procesorů různým počtem vnitřních iterací. Při algebraické konstrukci hrubé aproximace úlohy pomocí agregací dostáváme metodu, která umožňuje vytvoření všech nezbytných komponent ze zadané matice soustavy a tak i možnost relativně snadného doplnění metod do již existujícího MKP software pro standardní sekvenční počítače.
Použití techniky agregací umožňuje i další varianty, např. vytvoření nové dvou-úrovňové metody Schwarzova typu s rozkladem oblasti na nepřekrývající se podoblasti a hrubou sítí plně respektující diskretizaci na rozhraních mezi podoblastmi [A7].
Metody Schwarzova typu byly především aplikovány pro řešení okrajových úloh pružnosti apod. Lze je však také aplikovat pro řešení soustav vznikajících při časové diskretizaci evolučních úloh, např. nestacionárního vedení tepla. V posledním případě je naopak použití Schwarzových metod zvláště efektivní, neboť prakticky nevyžaduje použití dvouúrovňové metody s hrubou aproximací úlohy [A13].
Metodám Schwarzova typu jsou blízké i další metody využívající dekompozici řešení. Z těchto metod jsme vyvinuli metodu rozložení posunutí [A1,11] a rozpracovali i metodu kompozitních sítí. I tyto metody byly implementovány a testovány na řešení úloh pružnosti
Řešené úlohy
-
DR - časový
vývoj napěťových polí v souvislosti s postupnou těžbou uranu.
Rozsáhlý 3D geotechnický model uranového dolu v Dolní Rožínce, Česká republika. -
KBS - modelování
termo-mechanických jevů.
Rozsáhlý 3D model prototypu uložiště vyhořelého jaderného paliva v Aspo, Švédsko.
Využité počítače
- Lomond - Sun HPC klastr, EPCC, Edinburg
- Natan - IBM symetrický multiprocesor, IGAS, Ostrava
- Thea - Beowulf klastr, IGAS, Ostrava
- Termit - Beowulf klastr, VŠB-TU, Ostrava
- Simba - Sun symetrický multiprocesor, UPPMAX, Uppsala
- Ra - Sun klastr, UPPMAX, Uppsala
Publikace
- [A 1] R. Blaheta, O. Jakl, J. Starý: Displacement decomposition and parallelization of the PCG method. In: T.M. Pinkston (ed.): Proceedings ICPP'01 International Conference on Parallel Processing, Valencia, 3-7 September 2001. Published by IEEE Computer Society, ISBN 0-7695-1260-7, Los Alamitos CA, 2001, pp.155-160.
- [A 2] R. Blaheta, O. Jakl, J. Starý: Parallel high-performance computing in geomechanics with inner/outer iterative procedures. In: P. Sloot, C.J.K. Tan, J.J. Dongarra, A.G. Hoekstra (eds.): Computational Science - ICCS 2002, LNCS 2331, Springer-Verlag, Berlin 2002, pp.830-839.
- [A 3] R. Blaheta, O. Jakl, K. Krečmer, J. Starý: Large-scale modelling in geomechanics with parallel computing on clusters of PC's. In: Ph. Mestat (ed.): NUMGE’02 5th European Conference Numerical Methods in Geotechnical Engineering, Presses de l’ecole nationale des Ponts et chausses, Paris, 2002.
- [A 4] O. Jakl: Klastry osobních počítačů ve výpočetní praxi. In: J. Doležalová (ed.): Sborník z 11. semináře Moderní matematické metody v inženýrství, 30. května - 1. června 2002, Dolní Lomná. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2002.
- [A 5] O. Jakl, K. Krečmer: Náročné numerické výpočty na linuxovém klastru a porovnání s jinými platformami. In: J. Kasprzak, P. Sojka (eds.): SLT 2002 - sborník třetího semináře o Linuxu a TeXu - SLT 2002, Seč, 7. - 10. listopadu 2002. Konvoj, CSTUG, CZLUG, Brno, 2002.
- [A 6] R. Blaheta, O. Jakl, J. Starý: Linear system solvers based on space decompositions and parallel computations. Engineering Mechanics / Inženýrská mechanika, ISSN 1210-2717, Number 6, Volume 10/2003 (vyšlo 15. ledna 2004), pp.439-454.
- [A 7] R. Blaheta: Space decomposition Preconditioners and Parallel Solvers. ENUMATH 2003, Prague, (invited lecture). In: M. Feistauer et al (eds.): Numerical Mathematics and Advanced Applications, Springer-Verlag, Berlin 2004, pp.20-38.
- [A 8] R. Blaheta, O. Jakl, J. Starý: Space decomposition solvers and their performance in PC-based parallel computing. In: R. Wyrzykowski, J. Dongarra (eds.): Proc. Parallel Processing and Applied Mathematics PPAM 2003. LNCS 3019, Springer-Verlag, Berlin, 2004.
- [A 9] R. Blaheta, O. Jakl, K. Krečmer, J. Starý: Schwarz-type methods and their application in geomechanics. PDEMAMIP conference, September 7-11, 2004, Sunny Beach, Bulgaria.
- [A10] K. Krečmer: PC clusters and parallel computing. In: V. Snášel (ed.): WOFEX , VŠB-TU, Ostrava, 2004.
- [A11] R. Blaheta, O. Jakl, J. Starý: Displacement Decomposition and Parallelization of the PCG Method for Elasticity Problems. International Journal of Computational Science and Engineering, Inderscience Publishers, New York. In print.
- [A12] R. Blaheta, P. Byczanski, O. Jakl, J. Starý: Parallel Schwarz Methods: Algebraic Construction of Coarse Problems, Implementation and Testing. PPAM Springer, LNCS. Accepted for publication.
- [A13] R. Kohut, J. Starý, R. Blaheta, K. Krečmer: Parallel Computing of Thermoelasticity Problems. LSSC 2005, Springer, LNCS. To appear.
- [A14] R. Blaheta, P. Byczanski, R. Kohut, K. Krečmer, J. Starý: T-M Modelling of Geological Deposition of the Spent Nuclear Fuel – Äspö prototype repository. Documenta Geonica, 2005.
- [A15] O. Jakl, I. Šimeček: Computer-related aspects of mathematical modelling at the Institute of Geonics. Documenta Geonica, 2005.
- [A16] O. Jakl: Výpočetní zkušenosti s multiprocesorem IBM e-Server x455: architektura NUMA a procesory Itanium 2. 3mi, 2005.
- [A17] R. Blaheta: Parallel Computing and Iterative Solution of Linear Systems. In: Seminar on Numerica1 Analysis, ISBN 80-86407-04-7, Institute of Geonics, Ostrava 2005.