The first lecture in honour of Eduard Cech
Jaroslav Kurzweil:
New Life Of the Riemannian Approach to Integration
(Nový život riemannovského přístupu k integraci)
March 31, 2004
Před necelým půlstoletím byla zavedena
nenápadná změna v definici Riemannova integrálu.
Nový integrál je ekvuivalentní s integrálem
Perronovým, a tedy i s Denjoyovým integrálem v
omezeném smyslu. Postupně se ukázalo, že nejde jen o
novou definici známé integrace, ale že nový
přístup je velmi flexibilní: jeho obměnami lze
zavést integraci Lebesgueovu i řadu integrací
dříve neznámých. Jde o integraci
reálných funkcí na jednorozměrných
intervalech, o integraci na varietách a o integraci
funkcí s hodnotami ve vektorových prostorech. Na
vektorových prostorech integrovatelných funkcí se
přirozeným způsobem zavádí konvergence
posloupností. Ta vede k lokálně konvexní topologii
a tak vznikají prostory, z nichž pouze některé jsou
úplné. Podmětem ke změnám v riemannovském
přístupu k integraci byly některé limitní přechody
v obyčejných diferenciálních rovnicích.
Objevily se souvislosti s Fourierovými řadami a s teorie
variačních nerovnic. Jedním z výsledků
nového přístupu k integraci na varietách je zcela
uspokojivý tvar Stokesovy věty.
