Definujeme standardní invarianty I1, J2 a J3
tensoru napětí
sij.
kde sij je deviátor tensoru napětí
a dij je Kroneckerovo delta.
V systému PMD se používá jiná, ekvivalentní trojice invariantů,
a to střední napětí
von Misesovo efektivní napětí
a Lodeův podobnostní parametr
Úhel Q směřuje od osy hlavního napětí
s1
k bodu znázorňujícího napjatost v deviátorové rovině (viz obrázek v příloze
D2).
Vyjádříme dále derivace sm,
se
a m podle sij:
Uvažujme speciální případ jednoosé napjatosti, kdy
s11=s
a ostatní složky tensoru napětí jsou nulové. Potom
Znaménka +- u invariantu
m rozlišují případy
jednoosého tahu (+) a jednoosého tlaku (-).
Pro derivace v případě jednoosé napjatosti platí
D2 zobecněná podmínka plasticity
Podmínku plasticity lze vyjádřit v závislosti na invariantech sm,
se,
m
a teplotě T jako
Zápis (D2.1) definuje funkci
která popisuje tvar plochy plasticity v prostoru napětí.
Závislost Y na m=cos(3Q)
představuje řez plochy plasticity deviátorovou rovinou.
Závislost Y na sm vyjadřuje citlivost
vůči hydrostatické napjatosti a odpovídá meridiánovému řezu plochy plasticity.
Gradient mezní funkce F v prostoru napětí má tvar
Ve speciálním případě jednoosé napjatosti, kdy s11=s
a ostatní složky tensoru napětí jsou nulové, dostáváme s ohledem na (D1.10)
Horní znaménka příslušejí případu jednoosého tahu
s>0
a dolní znaménka odpovídají jednoosému tlaku s<0.
D3 asociovaný a neasociovaný zákon
tečení
Směr plastického toku se specifikuje směrovým tensorem Rij
Nejčastěji se používá
asociovaný zákon tečení, kdy
Tomu podle (D2.3) a úžením (D1.8) odpovídá poměrná změna objemu
U podmínek plasticity závisejících na tlaku je Y klesající vzhledem k sm
(viz též obrázek v příloze D2). Derivace śY/śsm
je tudíž záporná a asociovaný zákon tečení implikuje kladnou objemovou
změnu. Tato predikce však neodpovídá skutečnosti a proto se někdy používá
neasociovaný
zákon tečení, nejčastěji ve tvaru
Poměrná změna objemu je potom
a veličinu F, která se nazývá dilatačním
faktorem, je možno nastavit experimentálně. Pokud F=0,
(D3.4) představuje Prandtl-Reussovy rovnice s nulovou objemovou změnou.
D4 efektivní deformace
Rychlost efektivní deformace definujeme jako
kde g je definitorický parametr. Podle (D3.1)
je
a rovnice tečení má tvar
Parametr g volíme tak, aby při jednoosé napjatosti
s11=s
platilo, nebo-li
Pro asociovaný zákon tečení tak podle (D2.4) dostáváme
a pro neasociovaný zákon (D3.4)
Horní znaménko přitom platí pro tahovou kalibraci modelu (tj.
platí pro případ s11>0), zatímco
dolní znaménko odpovídá tlakové kalibraci (kdy s11<0).
V systému PMD byla zvolena tlaková kalibrace a ve vzorcích (D4.5),
(D4.6) platí dolní znaménka. Ve speciálním případě
śY/śsm
= 0 nebo F = 0, je vždy g
= 2/3.
U neasociovaného zákona platí bez ohledu na stav napjatosti
takže dosazením za g (při tlakové kalibraci)
a RklRkl do (D4.3)
kde Rij je dáno výrazem (D3.4). Úžením tensoru Rij
dostáváme poměrnou objemovou změnu
a dilatační faktor
F může být experimentálně
určen.
D5 kombinované zpevnění
Pro zpevňující materiály se podmínka plasticity (D2.1) upraví následujícím
způsobem: Namísto tensoru napětí
sij
se dosadí napěťová veličina tij =
sij
- hij, kde hij je tensor kinematických parametrů
(backstress), a závislost funkce Y se rozšíří o efektivní deformaci ep
přičemž invarianty
se,
sm
a m jsou vyjádřeny pro tij.
Platí
Jako evoluční rovnice pro hij je použit Pragerův model
Funkci Y je možno rozložit na isotropní a kinematickou složku
takže volbou QY(ep) obdržíme
různé modely zpevnění. Označme To výchozí teplotu odpovídající
stavu sij = 0 a máme:
1) Isotropní zpevnění
2) Kinematické zpevnění
3) Kinematicko-isotropní cyklické zpevnění
4) Kinematicko-isotropní cyklické změkčení
V průběhu plastického toku musí být splněna podmínka konsistence
Využijeme rozklad (D5.4) a označíme
Dosazením do (D5.5) a pomocí (D5.2) dostáváme
Dále předpokládáme, že přírůstek kinematických parametrů závisí výhradně
na Q', odkud
a multiplikátor k v Pragerově modelu (D5.3)
lze vyčíslit jako
Rovnice konsistence (D5.7) se zjednoduší na
D6 zobecněný model plasticity
Podmínka plasticity má tvar (D5.1)
Funkci Y rozložíme jako v (D5.4)
Pragerovo kinematické zpevnění (D5.3) a (D5.9) dává
Zákon tečení zapíšeme v obecném tvaru (D4.3)
kde jednotkový směrový tensor rij
vyplývá z (D3.2) nebo (D3.4).
Zbývá určit, neboť potom z Hookeova zákona
plyne rychlost napětí. Deformace se skládá
z creepové složky a teplotní dilatace s koeficientem roztažnosti
a
a je předem známa. Dosazením (D6.5) do rovnice konsistence (D5.10) a rozřešením
vzhledem k dostáváme
D7 isotropní model creepu
Pro isotropní creep volíme jednotkový směrový tensor rij
pevně
Při jednoosé napjatosti
s11=s,
je r112=2/3 a podle (D4.4)
platí pro parametr g=2/3=konst. Efektivní creepová
deformace je tudíž definována jako
a při jednoosé napjatosti je Dosazením do
(D7.1) máme
Rychlost creepové deformaceje nyní explicitně
určena stavem materiálu, protože závislost
se odečte z jednoosých creepových křivek. Ze struktury funkce (D7.4) vyplývá,
že přechod z jedné křivky na druhou probíhá při konstantní efektivní deformaci
ec,
nebo-li podle hypotézy deformačního zpevnění (strain hardening).
V systému PMD se elastoplastický model D6 a creepový model D7 kombinují
podle následujících pravidel:
1) Inelastické složky deformace se sčítají, tj.
kde eije je elastická
deformace, kterou lze kdykoliv vypočítat z napětí pomocí Hookeova zákona,
a
eijI je trvalá deformace.
2) Efektivní deformace ep a ec
jsou na sobě nezávislé.
D8 vstupní veličiny
Typ modelu plasticity se rozlišuje klíčem KMOD ve vstupním souboru
name.iP
pro program HPP2/3. Výpočet creepu se automaticky aktivuje zadáním časových
hladin na
RP řádku v name.iP bez ohledu na hodnotu
KMOD.
Pro creepovou úlohu je vždy nutné zadat závislost .
Pokud rychlost creepové deformace nezávisí na ec,
probíhá tečení v oblasti sekundárního creepu.
KMOD = 0 nebo 1: von Misesův model (J2 teorie)
Zadává se funkce sY(ep,T),
kterou je možno kalibrovat na jednoosé tahové zkoušce, kdy s11
= sY(e11p,T).
Pokud je sY(T) pouze funkcí teploty
nebo je konstantní, materiál je považován za ideálně plastický. Dále se
zadává kinematicky zpevňující složka Q(ep),
jejíž význam je vysvětlen v sekci D5.
KMOD = 2: zobecněný asociovaný model
Zadává se totéž co v předchozím případě, avšak funkce sY
je rozšířena o dva invarianty napětí
sm
a m, definované v sekci D1. Závislost sY(sm,
m,
ep,
T) tak umožňuje zadat libovolnou podmínku plasticity. Funkce sY
se kalibruje na případě jednoosého
tlaku. Tehdy platí s11
= sY(s11/3,
-1, e11p, T). Význam funkce
Q(ep) je vysvětlen v sekci D5.
KMOD = 3: zobecněný neasociovaný model
Platí totéž co v případě KMOD=2. Navíc je nutné zadat dilatační faktor
F,
který se kalibruje pomocí rovnice (D4.9).
Funkční závislosti materiálových veličin se popíší v rámci MP
dávky standardním způsobem podle příloh B5 a B6, viz též VSTUPY
name.i2.
Rozměry jsou v jednotkách SI s vyjímkou rychlosti creepové deformace ,
která se zadává v [1/hod].
, nebo-li
platí pro případ s11>0), zatímco
dolní znaménko odpovídá tlakové kalibraci (kdy s11<0).
V systému PMD byla zvolena tlaková kalibrace a ve vzorcích (D4.5),
(D4.6) platí dolní znaménka. Ve speciálním případě
śY/śsm
= 0 nebo F = 0, je vždy g
= 2/3.
, neboť potom z Hookeova zákona
se skládá
z creepové složky a teplotní dilatace s koeficientem roztažnosti
a
dostáváme
Dosazením do
(D7.1) máme
je nyní explicitně
určena stavem materiálu, protože závislost
.
Pokud rychlost creepové deformace nezávisí na ec,
probíhá tečení v oblasti sekundárního creepu.
,
která se zadává v [1/hod].
rychlost tečení [1/hod]
