Teorie Banachových prostorů

Pracovník Matematicko-fyzikální fakulty UK v Praze doc. Ondřej Kalenda obhájil před komisí Matematická analýza a příbuzné obory disertaci Compact spaces and their applications in Banach space theory a získal vědecký titul „doktor fyzikálně-matematických věd“. Na Katedře matematické analýzy se podílí na výuce pokročilých předmětů oboru matematická analýza a na zajištění výuky základního kurzu matematiky pro ekonomy na Fakultě sociálních věd UK. Zaměřuje se na funkcionální analýzu, zejména na teorii Banachových prostorů a její propojení s dalšími oblastmi matematiky (například s topologií). Vyvinul nové přístupy ke zkoumání vztahů mezi topologickými vlastnostmi kompaktních prostorů a různými geometrickými vlastnostmi Banachových prostorů.

Foto: Archiv autora

Počátky teorie abstraktních Banachových prostorů spadají do dvacátých let minulého století. K prvním matematikům, kteří se jimi zabývali, patřili Stefan Banach, Hans Hahn a Eduard Helly. Banachovy prostory jsou množiny vybavené dodatečnou strukturou, a to jednak geometrickou (jejich prvky lze násobit číslem a sčítat mezi sebou, jejich podmnožiny mohou mít tvar – přímky, úsečky, konvexní množiny atd.) a jednak strukturou metrickou (je v nich možné měřit vzdálenost). Tyto struktury jsou vzájemně provázané. K jednoduchým příkladům Banachových prostorů patří přímka, rovina či trojrozměrný prostor. Těžiště teorie ovšem spočívá ve zkoumání nekonečněrozměrných prostorů.
Základními příklady nekonečněrozměrných Banachových prostorů jsou prostory posloupností a prostory funkcí. Tyto příklady poskytují motivaci ke studiu abstraktních prostorů, protože jsou účinným prostředkem při řešení rovnic nejrůznějšího druhu, zejména diferenciálních. Diferenciální rovnice se objevují například při analýze matematických modelů ve fyzice, v biologii i dalších oborech. Specifikem diferenciálních rovnic je fakt, že neznámou v nich není číslo, ale funkce, případně systém funkcí. Právě zde se ukazuje síla abstrakce – teorie Banachových prostorů umožňuje se složitými objekty (funkce či systémy funkcí) zacházet jako s body v (nekonečněrozměrném) prostoru s geometrickou strukturou.
Jak už to v matematice bývá, teorie vzniklé za určitým účelem se od tohoto účelu osamostatňují a žijí svým vlastním životem. Mají své vlastní přirozené otázky, svou vlastní strukturu, své vlastní hluboké výsledky a svou vlastní vnitřní krásu. Jsou rozvíjeny bez přímé souvislosti s původní motivací. Zdánlivě samoúčelné výsledky občas nacházejí překvapivé aplikace. Nejinak je tomu s Banachovými prostory.
Disertace shrnuje výsledky ze dvou oblastí teorie Banachových prostorů dokázané v letech 1997–2007. První z nich je studium rozkladů „velkých“ (neseparabilních) Banachových prostorů na prostory „menší“ (separabilní). Takové rozklady umožňují přenos některých vlastností z menších prostorů na větší. Přibližně od šedesátých let minulého století byla jejich existence postupně dokazována pro stále obecnější třídy prostorů. V disertaci ukazuji, že toto zobecňování má svou mez, popisuji tuto mez a zkoumám prostory na rozmezí či nedaleko za ním.
Druhou oblastí je zkoumání Banachových prostorů, na nichž je možné derivovat určité funkce (konkrétně spojité konvexní funkce). Jednou z motivací pro počítání derivací je snaha aproximovat složitý objekt (funkci) pomocí jednoduššího objektu (lineární funkce, případně polynomu). Počátky teorie derivování reálných funkcí spadají do 17. století. Různé typy derivací se studují i pro funkce na Banachových prostorech. V šedesátých letech minulého století Edgar Asplund zkoumal Banachovy prostory, na nichž mají spojité konvexní funkce některý typ derivace v „mnoha“ bodech. Zavedl takto třídy Banachových prostorů, kterým se dnes říká Asplundovy a slabé Asplundovy prostory. První z těchto tříd je velmi dobře prozkoumaná, o druhé se toho stále mnoho neví. V disertaci uvádím některé výsledky související právě se strukturou třídy slabých Asplundových prostorů, jejích podtříd a nadtříd.
Výzkum v těchto a souvisejících oblastech je samozřejmě mnohem bohatší a probíhá stále, protože mnoho otázek na své řešení teprve čeká.

ONDŘEJ KALENDA,
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze