Comming seminars

  • Štefan Porubský:Idempotenty a grupy v pologrupách a jejich aplikace

    8.6.2015 14:00 @ Hora Informaticae

    Idempotenty (tj. prvky s vlastností e.e=e), představují důležitý prvek ve struktuře pologrup (algebraická struktura s asociativní operací). Existence idempotentů je ekvivaletní s existencí podgrup dané pologrupy. Přesněji, jednotkový prvek každé podgrupy je idempotent a kolem každého idempotentu existuje alespoň jedna podgrupa a podpologrupa dané pologrupy (např. cyklická grupa a pologrupa generovaná prvkem, kterého mocnina je daný idempotent). I když komplex těchto podgrup a podpologrup může být bohatý, byl doposud jen sporadicky vyšetřován. Např. v pologrupě zbytkových tříd modulo n je takovýchto komplexů struktur celkem 2^r, kde r je počet různých prvočíselných dělitelů modulu n. Kromě grupy zbytkových tříd nesoudělných s modulem a s jednotkým prvkem 1 a pologrupy nilpotentních prvků kolem idempotentu 0 jsou tam i další, pokud r>1. První, kdo upozornil na důležitost tohoto projení byl slovenský matematik Štefan Schwarz (1914-1996), jeden ze zakladatelů teorie pologrup. Schwarz popsal tyto struktury i v jiných pologrupách, např. v pologrupě relací na konečné množině, v pologrupách matic, v pologrupách potenční množiny konečné množiny apod. Typickým představitelem těchto výsledků je nový pohled na klasickou Euler-Fermatovou větu teorie čísel ve tvaru její individuální, lokální a globální varianty, podle toho zda ji uvažujeme pro cyklickou pologrupu generovanou jedním prvkem, nebo pro tzv. maximální podpologrupu přirazenou některému idempotentu, nebo pro celou danou pologrupu. V přednášce kromě charakteristiky a popisu těchto struktur poukážeme i na spojení této problematiky se vznikem a rozvojem teorie pologrup. Dále uvedeme aplikace vedoucí ke zobecnění i dalších tvrzení z teorie čísel, jako Wilsonova nebo Brauerova věta.

  • Joab Winkler (Department of Computer Science, University of Sheffield): Image Processing by Polynomial Computations

    9.6.2015 13:15 @ Computational Methods

    Image deblurring - the removal of blur from an image - is one of the most important problems in image processing. Much research effort has been devoted to it, and many methods have been developed. It is usually assumed that the degradation process that causes the blurring is not known, in which case image deblurring reduces to the problem of blind image deconvolution. In particular, the theoretically exact image is obtained by deconvolving the point spread function (PSF), which causes the blur, from the given blurred image. It is shown in this talk that image deblurring can be performed by polynomial computations. In this polynomial approach to image deblurring, the deblurred image (which is to be computed), the blurred image and the PSF are represented by bivariate polynomials, and thus deblurring is achieved by polynomial computations, and in particular, greatest common divisor (GCD) computations and polynomial divisions. The GCD computations are implemented by the Sylvester resultant matrix, and they allow the PSF to be calculated. The deblurred image is then obtained by deconvolving the PSF from the blurred image. It will be shown that the QR decomposition is effective in determining the number of pixels along the rows and columns of the image over which the PSF extends, and that it yields better results than the SVD. Furthermore, the Sylvester matrix is formed by the concatenation of two circulant matrices, and the well-defined properties of these matrices manifest themselves in properties of the matrices Q and R of this decomposition. For example, the lower left corner of Q contains a triangular matrix, all of whose entries are zero, and every column of R can be rotated into another column of R. Examples of blind image deconvolution using polynomial computations will be presented, and they will include a comparison with the deblurred images obtained from other methods.

  • Igor Sedlár: Substructural Epistemic Logics

    10.6.2015 14:00 @ Applied Mathematical Logic

    The talk outlines a recent application of substructural logics in knowledge representation. We introduce a family of substructural epistemic logics designed to represent belief supported by evidence. The logics combine normal modal epistemic logics (implicit belief) with distributive substructural logics (available evidence). Pieces of evidence are represented by points in substructural models and availability of evidence is modelled by a function on the underlying point set. The main technical result discussed is a general completeness theorem for a family of substructural epistemic logics. Axiomatizations are provided by means of two-sorted Hilbert-style calculi. It is also shown that the framework presents a natural solution to the problem of logical omniscience.