Jan
FEB
Mar
27
2008
2009
2010
1 capture
27 Feb 09 - 27 Feb 09
Close
Help
Termíny zkoušek
v pondělí v 10:00 v mé pracovně v Žitné tyto dny:
3.9,10.9.
.
Příklady otázek ke zkoušce z teorie množin
otázky
zimní semestr
historie a důvody pro zavedení axiomatické teorie množin
axiomy Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin a jejich intutivní zdůvodnění
definice neuspořádané a uspořádané dvojice a důkaz jejich vlastností
skládání a inverze relací a funkcí
základní vlastnosti funkcí (zobrazení na, prostá funkce, bijekce)
vysvětlete rozdíl mezi axiomem a schematem axiomů
vysvětlete pojmy množina, třída a vlastní třída, a k čemu jsou třídy dobré
rozklady množin a ekvivalence
uspořádání (největší prvek, maximální prvek, supremum, svazové uspořádání, izomorfní uspořádání)
definice "stejné mohutnosti" a "menší nebo rovné" a jejich základní vlastnosti
Cantorova věta o tom, že mohutnost množiny všech podmnožin je větší než mohutnost dané množiny
Cantorova-Bernsteinova věta
definice přirozených čísel
definice konečných množin (uveďte alespoň dvě), spočetné množiny
princip indukce
rekurzivní definice sčítání a násobení
Peanova aritmetika
axiom výběru a jeho důsledky (kladné a záporné)
princip maximality
princip dobrého uspořádání
neexistence translačně invariantní míry
letní semestr
definice ordinálních čísel a jejich základní vlastnosti
transfinitní indukce a rekurze
definice sčítání, násobení a umocňování ordinálních čísel a jejich algebraické vlastnosti
Cantorova normální forma, epsilon_0
konstruktivní ordinální čísla, Gamma_0
znění a hlavní myšlenky důkazu Goodsteinovy věty, Herkules a saň
definice a základní vlastnosti kardinálních čísel; uveďte i alternativní přístupy k definici a zmiňte se o významu axiomu výběru
definice aritmetických operací na kardinálních číslech, funkce alef a jejich základní vlastnosti
porovnejte aritmetické operace na ordinálních číslech s operacemi na kardninálních číslech
Cantorova hypotéza (CH), její zobecnění a její nezávislost na axiomech ZFC
platnost CH pro uzavřené množiny
kofinalita, regulární a singulární kardinální čísla, regularita izolovaných kardinálních čísel
velká kardinální čísla a neúplnost teorie množin, srovnání s CH
nedosažitelná a Mahlova kardinální čísla
Ramseyova věta a slabě kompaktní kardinální čísla
fundované relace, fundovaná indukce a fundovaná rekurze
úlohy
napište formuli definující supremum
zapište formulí násldující větu: ke každému prvku množiny x existuje prvek množiny y, který je s ním disjunktní
z axiomů dokažte existenci a vlastnosti kartézského součinu dvou množin
nakreslete Hasseho diagram uspořádání, které není svazové
rozhodněte, zda platí: jestliže existuje zobrazení z množiny x na y, potom existuje prosté zobrazení z y do x
dokažte, že sjednocení spočetné množiny spočetných množin je spočetná množina
příklady probírané na cvičeních
může mít sjednocení < kappa monžin mohutnosti < kappa mohutnost
menší než kappa?
rovnou kappa?
větší než kappa?
závisí to na kappa?
uveďte příklad netriviální stacoinární podmnožiny omega_2, (konkrétně, aby neobsahovala uzavřenou neomezenou podmnožinu)
může být mohutnost kontinua (tj. množiny všech reálných čísel) nedosažitelné kardinální číslo?
definujte 1. realci, 2. strom s typovými funkcemi rovnými omega_1
jaký je nejmenší počet nekonečných kardinálních čísel v ZFC bez schematu nahrazení?
Upozornění:
při zkoušce po letním semestru budu vyžadovat i znalosti ze zimního semestru
tyto seznamy nejsou vyčerpávající, můžete dostat i otázky, které nejsou na seznamech
Literatura
B. Balcar, P. Štěpánek
, Teorie množin (kapitola I. a II. bez paragrafů I.8 a II.7, část III.5)