               
|
Representative lecture series in honor of prof. Eduard ČechNext lecture:Willi Jäger:Bridging Scales - Challenges to Mathematics and Computational Sciences November 5, 2010 Mathematical modelling and computing in sciences and technology are confronted with complexity, high dimensionality, nonlinearities, uncertainty and multiple scales, challenges demanding new mathematical theory and methods. This lecture will focus on the goal, the mathematical concepts and methods building bridges across the disparate scales of space, time and organization, from microstructures to macroscopic systems. Due to the rapid progress in experimental and computational technologies in the last decade a huge amount of information on all scales could be made available waiting to be processed and analyzed using mathematical modelling and simulation. Mathematical models have to be adjusted to the scales using varying mathematical concepts and techniques. Especially on the nano- and microscale, e.g. in molecular and cellular biology or in nanophysics of materials and fluids, discrete and stochastic description of processes are getting more and more important. Since, finally the dynamics and the properties of macroscopic systems have to be understood, controlled or even designed, the models on different scales have to be linked and the information produced on the various levels has to be transferred. E.g. questions like the following are arising: What is the influence of a mutation in genes in muscle cells on the rhythm of the heart, of changes of the crystal structure to the mechanical properties of a material. Finding transmission conditions in a computable way is an important goal for mathematics and computational sciences. Analytic and computational bridging of scales have to be coupled, taking also into account new hardware offering multi-scale and parallel structures. In this lecture several examples mainly from life sciences and reactive flow in porous media will be presented, the mathematical and computational concepts and methods developed so far for handling the scale bridging will be discussed. Finally open important problems for mathematical research will be formulated. Previous lectures (some with photos):Vladimír Šverák:Problémy spojené s řešením Navier-Stokesových rovnic June 30, 2009 Proudění vody a jiných tekutin je popsáno soustavou rovnic, která byla odvozena C. L. Navierem a G. G. Stokesem v první polovině 19. století. Jejich teoretickému studiu i praktickému řešení pomocí numerických metod se již po dlouhou dobu věnuje značné úsilí. Nicméně základní teoretické i praktické otázky týkající se Navier-Stokesových rovnic zůstávají otevřené. Účelem přednášky bude nastínit důvody těchto potíží. Budou také zmíněny některé nedávné teoretické výsledky. Gilles Godefroy: Geometry of Banach spaces and descriptive set theory April 1, 2008 In the first years of the twentieth century, Borel reached the concept of countably additive measure, Lebesgue created his integration theory and Baire characterized pointwise limits of continuous functions. They led them, and later on Lusin, Suslin and many others, to investigate the intrinsic complexity of subsets of metric spaces. Today, this part of analysis is called descriptive set theory. It has been recently applied to Banach space theory, and the complexity of natural classes of Banach spaces has been evaluated and used. We shall explain how this can be done, and display applications in two directions: smooth renormings of Banach spaces, existence of universal spaces. Ivo Babuška: Výpočtová věda, matematika a kam se ubíráme May 31, 2007 Počítače změnily a stále mění život a společnost. Nová výpočtová věda (computational science) hraje stále větší roli ve všech vědních oborech, inženýrství, medicíně, biologii, klimatologii atp. Obor výpočtových věd se zavádí do univerzitního studia. Rychlý vývoj počítačů je patrný ze srovnání stavu v letech 1989 a 2007. V roce 1989 počítač VAX 11/ 780 měl špičkovou rychlost 0.1 mega (=105)) flops. V listopadu 2007 Universita v Austinu bude mít v provozu počítač s rychlostí 0.5 peta (=5x1014) flops. Za 1000$ je možno koupit počítač s výkonností větší než měl největší počítač před 15 lety. Přednáška se dotkne některých aspektů tohoto vývoje, speciálně teorie a výpočtů, které jsou základem kritických rozhodnutí a matematických problémů s tím souvisejících. Zmíní se o novém oboru validace a verifikace, který se nyní začíná rychle rozvíjet. Budou uvedeny ilustrativní příklady. Přednáška se také dotkne otázky univerzitní výchovy nové generace a vyjádří názor, co je možno očekávat v blízké budoucnosti. Jean Mawhin: Resonance and nonlinearity March 28, 2006 Resonance is one of the most versatile concepts of science. It is present under various aspects in astronomy, physics, technology, musics, and, of course, mathematics. At resonance, the response of a vibrating system to a periodic excitation becomes unbounded; resonance can destroy the stability of a bridge or of the solar system. The mathematical study of resonance is closely linked to the concept of spectrum, a name coined in optics by Newton in 1672 and part of the mathematical language since the end of the XIXth century only. The presence of nonlinear terms in an equation modifies the resonance phenomenon in essential ways, and the concept of spectrum can be extended to some classes of nonlinear operators, leading to new resonance conditions. The lecture describes some recent results relating spectra and nonlinearities in differential equations. Miroslav Fiedler: Užitečnost úzkého vztahu
mezi pozitivně
semidefinitními maticemi a konečnými soustavami vektorů v
euklidovském
prostoru ukážeme na příkladech maticových
nerovností na straně jedné a
na úplném popisu vztahů mezi déklami vektorů
biortogonálních bází,
vztahů mezi úhly výšek sférického
simplexu a na úplné charakterizaci
možné struktury rozložení ostrých, pravých
a tupých vnitřních úhlů
simplexu na straně druhé. Pravoúhlé simplexy a
cyklické simplexy řeší
speciální případy problému najít při
dané souvislé a spojující síti na
simplexu ten simplex, který má největší
objem. Před necelým půlstoletím byla zavedena nenápadná změna v definici Riemannova integrálu. Nový integrál je ekvivalentní s integrálem Perronovým, a tedy i s Denjoyovým integrálem v omezeném smyslu. Postupně se ukázalo, že nejde jen o novou definici známé integrace, ale že nový přístup je velmi flexibilní: jeho obměnami lze zavést integraci Lebesgueovu i řadu integrací dříve neznámých. Jde o integraci reálných funkcí na jednorozměrných intervalech, o integraci na varietách a o integraci funkcí s hodnotami ve vektorových prostorech. Na vektorových prostorech integrovatelných funkcí se přirozeným způsobem zavádí konvergence posloupností. Ta vede k lokálně konvexní topologii a tak vznikají prostory, z nichž pouze některé jsou úplné. Podmětem ke změnám v riemannovském přístupu k integraci byly některé limitní přechody v obyčejných diferenciálních rovnicích. Objevily se souvislosti s Fourierovými řadami a s teorie variačních nerovnic. Jedním z výsledků nového přístupu k integraci na varietách je zcela uspokojivý tvar Stokesovy věty. |
