Diskrétní principy maxima

S kolegy z USA a Finska pracujeme v Matematickém ústavu AV ČR mimo jiné na výzkumu diskrétních principů maxima pro eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu řešené metodou konečných prvků.

Parciální diferenciální rovnice popisují celou řadu důležitých problémů ve fyzice a v technické praxi. Tyto rovnice ovšem z principiálních důvodů nelze vyřešit přesně, a proto se řeší alespoň přibližně pomocí různých numerických metod. Pro příklad uveďme rovnici vedení tepla, která popisuje rozložení teploty v pevném tělese. Je dobře známo, že teplo se šíří pouze z teplejších oblastí do chladnějších a že teplota nemůže být nikdy záporná. Je velmi zajímavé, že řešení "umělé" rovnice vedení tepla, vykazuje přesně tyto vlastnosti. Matematicky to formulujeme jako tzv. princip maxima. Naneštěstí se ukazuje, že přibližná řešení (získaná např. metodou konečných prvků) splňují princip maxima pouze za určitých podmínek. A právě studiu těchto podmínek se intenzivně věnujeme. Podařilo se nám zobecnit některé dosud známé výsledky a dát návod jako konstruovat přibližné řešení, aby splňovalo princip maxima a tedy aby bylo v souladu s fyzikálními zákony.

 

Kontakt
RNDr. Tomáš Vejchodský, Ph.D., Matematický ústav AV ČR, v. v. i.
tel: 222 090 713, e-mail: vejchod@math.cas.cz