Úlohy z minulých týdnů
Podivní příbuzní
Navštívili nás dva příbuzní, dospělý s dítětem. To dítě bylo synem dospělého, ale dospělý nebyl jeho otcem. Jak je to možné?
Další kouzla s čísly
Zvolte si libovolné trojciferné číslo a zapište ho dvakrát za sebou. Ověřte, že vzniklé šestimístné číslo je dělitelné jedenácti. Pak zkuste totéž s dvojciferným, čtyřciferným, pěticiferným, šesticiferným číslem. Která z výsledných čtyřciferných, osmiciferných, deseticiferných, dvanácticiferných čísel budou dělitelná jedenácti? Je v tom náhoda nebo nějaká zákonitost?
Krychle a koule
Uvnitř krychle o hraně délky $a$ určete všechny středy kulových ploch, které se dotýkají jejích tří sousedních stěn se společným vrcholem a tří sousedních hran, které v těchto stěnách neleží.
Číslování dveří
Budova, ve které je sto dveří, se renovuje. Lakýrník má za úkol natřít všechny dveře a označit je všechny čísly od 1 do 100. Pro každou číslici má šablonu. Kolikrát použije šablonu, jejíž pomocí se maluje číslice 9?
Šikmá věž z cihel
Pro účel této úlohy si představme, že máme sadu cihel přesně stejné velikosti, hmotnosti a rovnoměrné hustoty. Položíme-li jednu cihlu na druhou, je jasné, jak daleko můžeme tu horní vysunout přes okraj té spodní, aniž by se překlopila a spadla: do poloviny. Těžiště horní cihly je pak přesně na hraně té spodní a nepřeklopí se.
Trochu složitější je to se třemi cihlami. Je jasné, že v předchozí situaci už třetí cihlu před druhou předsunout nemůžeme; narušili bychom rovnováhu a obě by se překlopily. Musíme začít od začátku, či vlastně od konce. Třetí cihlu opět položíme tak, aby přečnívala přes druhou cihlu přesně jednou polovinou délky. Snadno zjistíme, že těžiště soustavy těchto dvou cihel je ve vzdálenosti $1\over2$ od přední hrany druhé cihly (pro zjednodušení uvažujeme cihly délky $2$, a protože cihly mají stejnou velikost, hmotnost a rovnoměrnou hustotu, můžeme velikost tíhové síly, kterou působí cihla, považovat rovněž za jednotkovou): hmotnost soustavy druhé a třetí cihly před těžištěm je $x+1+x$ a za těžištěm $2-x+1-x$. Musí tedy platit $x+1+x=2-x+1-x$, tj. $x={1\over2}$.
Můžeme tedy vysunout druhou a třetí cihlu společně přes okraj první cihly o $1\over2$, aniž by se celá věž zřítila. Přední okraj věže přečnívá hranu spodní cihly o $1+{1\over2}={3\over2}$.
Představme si, že máme k dispozici libovolný počet takových cihel. Jak až daleko může přední okraj takové šikmé věže přečnívat přes spodní cihlu, aniž by se zřítila?
Dva trojúhelníky
Je dán obecný trojúhelník $ABC$. Na jeho stranách zvolíme body $K$, $L$, $M$ tak, že $|AK|={1\over7}|AB|$, $|BL|={1\over7}|BC|$, $|CM|={1\over7}|CA|$. V jakém poměru jsou obsahy trojúhelníků $KLM$ a $ABC$?
Vyšetřování loupeže
Zlatník Crook oznámil, že mu někdo z obchodu ukradl náhrdelník s diamanty. Inspektor Smart na základě jeho výpovědi vyslechl tři podezřelé, kteří jako jediní v den krádeže zlatnictví navštívili, a zjistil následující skutečnosti:
- (a) Pokud je pan Adams vinen, měl právě jednoho společníka.
- (b) Pokud je pan Brown nevinen, je nevinen i pan Campbell.
- (c) Pokud jsou vinni právě dva z podezřelých, pak jedním z nich je pan Adams.
- (d) Pokud je pan Campbell nevinen, je nevinen i pan Brown.
Koho inspektor Smart obvinil?
Kouzelný čtverec
Ukážeme další kouzelnický trik, za kterým se skrývá jednoduchá matematika. Jardových slavil třicáté narozeniny. Protože o něm bylo známo, že se rád baví matematickými hádankami, jeden z hostů si vyžádal list papíru, nakreslil na něj následující čtvercovou mřížku a vyplnil ji čísly:
Předal mřížku Jardovi, otočil se k němu zády, aby na mřížku neviděl, a požádal ho, aby podtrhl jedno z čísel a vyškrtl všechna další čísla, která jsou ve stejném řádku a ve stejném sloupci – viz další obrázek vlevo, kde je vybráno číslo $7$ ve druhém řádku a druhém sloupci. V dalším kroku měl Jarda vybrat některé z čísel, které není podtrženo ani přeškrtnuto, podtrhnout je a opět vyškrtnout všechna další čísla, která jsou ve stejném řádku a ve stejném sloupci jako druhé podtržené číslo. Nakonec měl Jarda zopakovat postup ještě jednou a nakonec podtrhnout zbylé číslo. Mohlo to vypadat např. jako obrázku vpravo:
Kamarád pak Jardovi řekl, ať sečte čtyři podtržená čísla a poblahopřál mu k narozeninám vyjádřených tímto součtem. Jak to dokázal?
Kružnice vepsaná do mnohoúhelníku
Je dána kružnice a jí opsaný konvexní mnohoúhelník. Uvnitř mnohoúhelníku je zvolen bod $X$. Úkolem je určit velikost poloměru kružnice pomocí vzdáleností bodu $X$ od jednotlivých stran mnohoúhelníku. Na obrázku je situace znázorněna pro případ sedmiúhelníku.
Kde udělal Karel chybu?
Karel se v hodině matematiky přihlásil s tím, že v matematice objevil zásadní problém. Vyšlo mu, že $1=-1$. Předvedl následující postup:
$$\eqalign{\sqrt{-1}&=\sqrt{-1}\cr
\sqrt{1\over -1}&=\sqrt{-1\over1}\cr
{\sqrt1\over\sqrt{-1}}&={\sqrt{-1}\over\sqrt1}\cr
\sqrt1\cdot\sqrt1&=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}\cr
1&=-1}$$
Deset mincí
Máte deset mincí a víte, že aspoň jedna z nich je pravá. Některé z nich jsou však možná i falešné. Navíc víte, že všechny pravé mince váží stejně a všechny falešné mince váží stejně, jen nevíte, jestli jsou lehčí nebo težší než ty pravé. Máte také obyčejnou dvouramennou váhu. Vaším úkolem je co nejmenším počtem vážení zjistit, jestli jsou všechny mince pravé, nebo jestli mezi nimi je nějaká falešná.
Snadno se to provede čtyřmi váženími: Porovnáme první dvě mince. Pokud jsou stejné, dáme obě mince na jednu misku a na druhou misku dáme další dvě. Jsou-li opět všechny stejné, dáme na jednu misku čtyři dosud zvážené mince a na druhou další čtyři mince. Jsou-li opět všechny stejné, porovnáme zbývající dvě mince se dvěma zváženými.
Existuje způsob, jak to provést jen třemi váženími?
Paradoxní skládačka podruhé
V jedné z předchozích
úloh jsme předvedli čtverec 8x8, který byl po rozřezání na čtyři na dva lichoběžníky a dva trojúhelníky složen do tvaru obdélníku 13x5, který má o jeden čtvereček větší obsah než původní čtverec. Nyní máme obrácenou situaci. Na obrázku vlevo je čtverec 13x13, který má obsah 139 čtverečků. Po rozřezání podle vyznačených čar jsou dva trojúhelníky a dva lichoběžníky na obrázku vpravo složeny do tvaru obdélníku 21x8 o obsahu 168 čtverečků. Tentokrát se nám jeden čtvereček ztratil.
Jistě přijdete na to, kde je. Dokážete sestavit další úlohy tohoto typu?
Druhá odmocnina ze dvou není racionální číslo
Racionální číslo je reálné číslo, které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Již ve starověku bylo známo, že odmocnina ze dvou není racionální číslo. Umíte to dokázat?
Počítání vlasů v Zapadlé Lhotě
V jedné
z úloh jsme "počítali" vlasy Pražanů. V Zapadlé Lhotě je trochu složitější situace.
- Žádní dva obyvatelé Zapadlé Lhoty nemají na hlavě přesně stejný počet vlasů.
- Počet obyvatel Zapadlé Lhoty je větší než počet vlasů na hlavě kteréhokoli z jejích obyvatel.
- Žádný z obyvatel Zapadlé Lhoty nemá na hlavě přesně $99$ vlasů.
Jaký je největší možný počet obyvatel Zapadlé Lhoty? Je někdo v Zapadlé Lhotě holohlavý?
Paradoxní skládačka
Na obrázku vlevo je čtverec 8x8 s vyznačenými čarami. Když ho podle těchto čar rozřežeme na dva lichoběžníky a dva trojúhelníky a složíme podle obrázku vlevo, dostaneme obdélník 13x5. Zatímco původní čtverec měl obsah 64 čtverečků, obdélník má obsah 65 čtverečků.
Jak je to možné?
Všechna čísla jsou si rovna?
Vezměme dvě různá čísla $a$, $b$ a jejich rozdíl označme $c$, $c=b-a$. Proveďme postupně následující úpravy:
$$\eqalign{a&=b+c \quad /\cdot(a-b)\cr
a^2-ab&=ab+ac-b^2-bc\cr
a^2-ab-ac&=ab-b^2-bc\cr
a(a-b-c)&=b(a-b-c)\quad /:(a-b-c)\cr
a&=b}
$$
Ouvej! Kde jsme udělali chybu?
Za kterými dveřmi je princezna?
Honza se přišel ucházet o princeznu. Krále ta troufalost překvapí, ale princezně se Honza líbí a na její prosbu mu dá šanci. Přivede ho před troje dveře do tří komnat a řekne mu, že v jedné komnatě je princezna, v jedné je žalářník, jedna komnata je prázdná. Honza dostane princeznu, když ukáže na dveře do komnaty s princeznou. Když ukáže na dveře do komnaty s žalářníkem, ten ho odvede do šatlavy. Když ukáže na dveře prázdné komnaty, princeznu nedostane, ale nic se mu nestane. Na prvních dveřích je nápis "za těmito dveřmi je princezna", na druhých je nápis "za těmito dveřmi princezna není" a na třetích dveřích je nápis "princezna není za prvními dveřmi". Král Honzoví vysvětlí, že nejvýše jeden z nápisů je pravdivý. Za kterými dveřmi je princezna?
Obsah mezikruží
Na obrázku je vybarveno mezikruží vytvořené dvěma soustřednými kružnicemi. Červeně vyznačená úsečka je nejdelší tětivou větší kružnice dotýkající se menší kružnice (je to samozřejmě jedna z nekonečně tětiv těchto vlastností). Tětiva má délku $t$.
Určete velikost plošného obsahu mezikruží.
Dvě mince
Mám dvě mince, jejichž ceková hodnota je 30 Kč, ačkoli jedna z nich není desetikoruna. Jak je to možné?
Dva běžci
Dva žáci stojí na opačných koncích běžecké dráhy na školním hřišti. Na povel současně vyběhnou proti sobě. Každý z nich běží stálou rychlostí. Když se poprvé minou, pomalejší z nich uběhl 35 m. Po doběhu na konec dráhy se každý otočí a běží zpět. Když se setkají podruhé, ten pomalejší uběhl 15 m od otočky. Jak dlouhá je běžecká dráha?
Čtyři roboti
Členové kroužku kybernetiky zkonstruovali čtyři robotická vozítka naprogramovaná tak, že se všechna pohybují stejnou stálou rychostí a v každém okamžiku se robot A pohybuje přesně ve směru robota B, robot B se pohybuje přesně ve směru robota C, robot C přesně ve směru robota D a robot D přesně ve směru robota A. Umístili roboty na podlahu do vrcholů čtverce v pořadí A, B, C, D ve směru pohybu hodinových ručiček a najednou je spustili. Je zřejmé, že každý z robotů se pohybuje po spirálové dráze směrem do středu čtverce. Jak dlouhou cestu každý z nich urazí do setkání upostřed čtverce? (Pro jednoduchost zanedbáváme velikost robotů, takže se roboti setkají přesně uprostřed čtverce.)
Za kterými dveřmi je princezna?
Honza se přišel ucházet o princeznu. Krále ta troufalost překvapí, ale princezně se Honza líbí a na její prosbu mu dá šanci. Přivede ho před troje dveře do tří komnat a řekne mu, že v jedné komnatě je princezna, v jedné je žalářník, jedna komnata je prázdná. Honza dostane princeznu, když ukáže na dveře do komnaty s princeznou. Když ukáže na dveře do komnaty s žalářníkem, ten ho odvede do šatlavy. Když ukáže na dveře prázdné komnaty, princeznu nedostane, ale nic se mu nestane. Na prvních dveřích je nápis "za těmito dveřmí je princezna", na druhých je nápis "za těmito dveřmí princezna není" a na třetích dveřích je nápis "princezna není za prvními dveřmi". Král Honzoví vysvětlí, že nejvýše jeden z nápisů je pravdivý. Za kterými dveřmi je princezna?
$a=0$?
Eva si procvičovala úpravy algebraických výrazů a vyšlo jí, že každé reálné číslo je rovno nule:
$$\eqalign{a&=b\quad /\cdot a\cr
a^2&=ab\cr
a^2-ab&=0\cr
a(a-b)&=0\quad /:(a-b)\cr
a&=0}
$$
To jistě nemůže být pravda. Co udělala špatně?
Délka úhlopříčky
Do čtvrtkruhu o poloměru $2a$ je vepsán obdélník $ABCD$ vyznačený modře na obrázku:
Jak dlouhá je jeho úhlopříčka $BD$? Na odpověď máte jen pět sekund!
Velká rodinná oslava
Rodina se sešla na oslavě narozenin babičky, která již bohužel nevidí, ale zachovala si své schopnosti vynikající počtářky. Sešlost se skládá z babičky a dědečka, dvou otců, dvou matek, čtyř dětí, tří vnoučat, bratra, dvou sester, dvou synů, dvou dcer, tchána, tchyně a snachy. Na babiččinu otázku, kolik lidí na oslavu přišlo, vnučka Anička, která zdědila nadání po babičce, odpoví šibalsky: "Babičko, pokud bys vzala libovolné dvojciferné číslo a třikrát ho zapsala za sebou, výsledné šestimístné číslo bude zcela jistě dělitelné počtem přítomných osob."
Jaký je nejmenší počet účastníků oslavy a proč je každé šestimístné číslo sestavené výše uvedeným způsobem dělitelné tímto nejmenším počtem?
Pokrývání šachovnice
Vlevo na obrázku je šachovnice, ze které bylo vyříznuto levé horní a pravé dolní bílé pole. Vedle šachovnice je znázorněna kostka domina, která přesně pokrývá dvě sousední pole šachovnice. Lze takovými kostkami domina pokrýt celou desku bez dvou polí znázorněnou vlevo tak, aby se kostky nepřekrývaly? A co když místo dvou rohových polí vyřízneme dvě pole uprostřed znázorněná na pravé šachovnici modře?
Jak rozřezat krychli?
Truhlář dostal za úkol rozřezat pilou dřevěnou krychli na 9 stejně velkých krychliček. To je snadný úkol: stačí na hraně krychle vyznačit její třetiny a vést tudy řezy kolmé k hraně a totéž pak zopakovat u dvou sousedních hran. Stačí tedy celkem 6 řezů. Truhlář však raději přemýšlel, než by se zbytečně namáhal a zamyslel se nad tím, jestli neexistuje šikovný způsob, jak krychli rozřezat menším počtem řezů. Umíte mu poradit?
Halloween a Vánoce
Tahle úloha je spíš trochu silvestrovská. Zlí jazykové tvrdí, že si angličtí matematici pletou Halloween a Vánoce. Víte proč?
Kouzla s čísly jinak
Už jsme tu měli jednoho kouzelníka udivujícího
kouzly s čísly. Tentokrát kouzelník vyvolal diváka a požádal ho, aby hodil třemi obyčejnými hracími kostkami, ale aby mu neukazoval, co padlo. Potom mu řekl: "První číslo vynásobte dvěma a přičtěte k němu pět, výsledek vynásobte pěti a přičtěte k tomu číslo na druhé kostce. Výsledek vynásobte deseti a přičtěte k tomu číslo na třetí kostce. Kolik vám vyšlo?" Když divák řekl 817, kouzelník ho pokáral, ať si to přepočítá, že určitě udělal chybu. Divák se omluvil, že se skutečně spletl, že správný výsledek je 814. Kouzelník se zahleděl do dálky, cosi zamumlal a řeknl: "Tak to je jasné. Na první kostce padlo 5, na druhé 6 a na třetí 4." Jak to dokázal? A jak přišel na to, že se divák poprvé spletl?
Tři hlavolamy se zápalkami
Máte dobrou představivost? V obrazci vlevo je vaším úkolem odebrat nejmenší počet zápalek tak, aby zbylé zápalky tvořily čtyři stejné rovnostranné trojúhelníky. V obrazci uprostřed je vaším úkolem přemístit co nejmennší počet zápalek tak, aby ryba plula opačným směrem. Jaký nejmenší počet zápalek je třeba přemístit ve třetím obrazci, aby oliva byla mimo sklenici?
Změna pořadí číslic
Existuje celé kladné číslo, jehož šestinásobek je vyjádřen stejnými číslicemi uspořádanými v opačném pořadí?
Úloha je překvapivě snadná, přestože pochází z Matematické olympiády v Německu v roce 1961, kde byla zařazena do třetího kola ze čtyř pro kategorii žáků 11. tříd.
Ponožky v šuplíku
V šuplíku je pět párů černých a pět párů bílých ponožek. Kolik ponožek musím vytáhnout poslepu z šuplíku, abych měl jistotu, že budu mít aspoň jeden pár stejné barvy?
Tak to je známá a hodně snadná úloha. Trochu to zkomplikujeme. V šuplíku mám určitý počet černých a stejný počet bílých ponožek. Kolik jich v šuplíku je, když vím, že nejmenší počet ponožek, které musím vytáhnout, abych s jistotou měl alespoň jeden pár stejné barvy, je stejný jako nejmenší počet ponožek, které musím vytáhnout, abych s jistotou měl alespoň dvě ponožky různé barvy?
Jak udělat čtvercovou desku?
Truhláři ve skladu zbyl kus dřevěné desky tohoto tvaru:
Chtěl by z ní vyrobit co největší čtvercovou desku. Pochopitelně by chtěl co nejméně řezat a lepit. Jak má postupovat?
Je na ostrově trosečník?
Loď ztroskotala v oblasti souostroví, o jehož obyvatelích je známo, že každý z nich buď vždy mluví pravdu nebo vždy lže. Záchranná výprava hledající trosečníky připluje k ostrovu a ptá se domorodce, jestli je na ostrově nějaký trosečník. Domorodec odpoví: "Je tu trosečník, právě když jsem pravdomluvný." Je ten domorodec pravdomluvný nebo lhář? Lze z jeho odpovědi usoudit, zda je na ostrově trosečník?
Utajené číslo
Mezi úlohami pro řešitele Matematické olympiády v Německu v roce 2010 se v oblastním kole objevila následující úloha. (Šlo o druhé kolo ze čtyř, obtížnost úloh byla ještě poměrně nízká.) Čtyři kamarádi, Alena, Bára, Cyril a David se dohodli na určitém čísle, zapsali ho na papír. Každý z nich o tom čísle vyslovil dva výroky, z nichž vždy jeden je pravdivý a druhý nepravdivý. Výroky, označené počátečními písmeny jejich jmen, zněly takto:
A1: "Číslo je trojciferné."
A2: "Součin všech jeho číslic je $23$."
B1: "Číslo je dělitelné $37$."
B2: "V zápisu čísla se vyskytují tři stejné číslice."
C1: "Číslo je dělitelné $11$."
C2: "Na posledním místě je číslice $0$."
D1: "Ciferný součet je větší než $10$."
D2: "Číslice na pozici stovek není největší ani nejmenší ze všech číslic."
Dokážete určit, které číslo bylo zapsáno na papíru?
Kužel a koule ve válci
Do rotačního válce o poloměru $R$ je vložen kužel, který má s válcem společnou podstavu a jehož vrchol splývá se středem horní podstavy válce. Uvnitř válce je umístěno šest stejných koulí takovým způsobem, že se každá dotýká sousedních dvou koulí, pláště kužele, pláště a horní podstavy válce. Vypočtěte poloměr $\rho$ největší koule vložené do kužele.
Kouzla s čísly
Někteří kouzelníci rádi udivují diváky svými "nadpřirozenými" schopnostmi v oblasti čísel. Takový kouzelník třeba vyvolá diváka a požádá ho, aby si na papír poznamenal libovolné dvojciferné číslo a aby ho zapsal čtyřikrát za sebou a vytvořil tak osmiciferné číslo. Pak ho požádá třeba o jeho datum narození, směrovací číslo nebo cokoli jiného, "zamyslí se" a pak oznámí, že výsledné osmimístné číslo je dělitelné číslem $73$. Jak to dokázal?
Složitější hra s čepičkami
Tato hra je náročnější. Skupině lidí vysvětlíme pravidla a dáme jim čas na domluvu o vhodné strategii. Pravidla jsou následující: Účastníci se seřadí do zástupu podle velikosti tak, že na začátku stojí nejmenší, na konci největší. Každý se smí dívat jen dopředu na ty menší, které má před sebou. Každému účastníku pak dáme na hlavu černou nebo bílou čepičku tak, aby neviděl, jakou má barvu. Na dané znamení jeden po druhém postupně od největšího po nejmenšího řekne buď "černá", nebo "bílá", nic jiného. Úkolem je dosáhnout toho, že se nejvýše jeden hráč zmýlí při určení barvy čepičky na své hlavě. Jakou strategii mají hráči zvolit?
Úhly v krychli
Na stěnách krychle na obrázku jsou červeně vyznačeny dvě úsečky spojující středy hran. Jaký úhel svírají?
Falešné mince podruhé a složitěji
Před několika týdny jsme tu měli
klasickou úlohu, jak jedním vážením zjistit, ve kterém pytli jsou ošizené, o $1$ gram lehčí mince. Král se dozvěděl, že se ho mincmistr pokusil ošidit a vyrobil několik pytlů mincí, které váží o $1$ gram méně než předepsaných $10$ gramů. Nechal z mincovny přinést $6$ pytlů s vyrobenými mincemi, předvolal si mincmistra a řekl mu, že když nedokáže jedním vážením zjistit, ve kterých pytlech jsou ty lehčí mince, bude popraven. Jak si mincmistr zachrání život? Úloha je složitější v tom, že pytlů s ošizenými mincemi může být víc.
Komu věřit?
Opět jsme na logiky oblíbeném ostrově, kde každý domorodec je buď pravdomluvný nebo je lhář. Poutník má v cestě rozbouřenou řeku a chce zjistit, kterým směrem je nejbližší most. Na druhém břehu stojí tři domorodci. Poutník potřebuje zjistit, kdo je pravdomluvný. Zavolá na prvního: "Jsi pravdomluvný?" Odpověď se však ztratí v hukotu vody. Zavolá na druhého domorodce: "Odpověď nebyla slyšet. Co řekl ten člověk?" Druhý odpoví: "Jsem pravdomluvný." Poutník ještě zavolá na třetího: "Jsi pravdomluvný nebo lhář? A jací jsou ti druzí dva?" Otázaný odpoví: "Jsem pravdomluvný. Ti další dva jsou lháři." Koho se má poutník zeptat na cestu k mostu?
Koule v krychli
Krychli o hraně délky $a$ je vepsána koule o poloměru ${a\over2}$ se středem ve středu krychle. Do prostoru mezi koulí a stěnami krychle je vložena menší koule, která se dotýká větší koule a tří stěn krychle.
Devíticiferná čísla dělitelná 45
Kolik existuje devíticiferných čísel dělitelných $45$ a sestavených z číslic $1,2,3,\dots,9$ tak, že každá z těchto číslic se v jejich vyjádření vyskytuje přesně jednou?
Kde je princezna?
Jak to v pohádkách bývá, Honza chce získat princeznu, musí však prokázat, že není žádný hloupý Honza. Král ho přivede do komnaty se dvěma závěsy. Má uhodnout, za kterým z nich je princezna ukryta. V komnatě stojí dva sluhové, kteří vědí, kde princezna je. Honza však smí položit jen jednomu z nich jedinou otázku. Král Honzovi řekne, že jeden sluha má příkaz odpovídat pravdivě, druhý nepravdivě. Jak to Honza udělá, aby princeznu získal?
Arbelos
V úloze o Archimedových kruhových dvojčatech jsme již uvedli, že vybarvenému obrazci na obrázku se říká arbelos.
Název pochází z řečtiny, kde arbylos označuje ševcovský nůž (viz
https://en.wikipedia.org/wiki/Arbelos#/media/File:Arbelos_Shoemakers_Knife.jpg).
Arbelos má jako geometrický útvar řadu pozoruhodných vlastností a souvislostí. Umíte ukázat, že plošný obsah arbelu je roven obsahu kruhu ohraničeného červenou kružnicí na obrázku?
První a poslední číslice
Určete prvních devět a posledních devět číslic podílu $3\underbrace{000000\dots00000}_{{\rm 99\ nul}}7:37$ a zbytek dělení.
Lháři a pravdomluvní u kulatého stolu
U kulatého stolu se sešla skupina lidí, z nichž někteří jsou pravdomluvní a někteří jsou lháři. Každý z nich tvrdí o svých dvou sousedech, že jsou lháři. Jeden z nich prohlásí, že kolem stolu sedí celkem jedenáct lidí. Druhý mu odporuje a řekne: "Lžete! Je nás deset." Kolik lidí tvoří tuto společnost? Kolik je mezi nimi lhářů?
Čtvrkruh a polokružnice
Je dán čtvrtkruh a do něj jsou vepsány dvě polokružnice, jejichž průměry splývají s poloměry daného čtvrtkruhu:
Polokružnice ve čtvrtkruhu vytínají dva obrazce, které jsou na obrázku vybarveny červeně a modře. Dokažte, že mají stejný obsah.
Autorem této úlohy je japonský tvůrce matematických hlavolamů Kobon Fujimura.
Kolik zbylo na sestru?
Dva bratři se rozhodli prodat svou sbírku plastových autiček. Za celou sbírku dostali tolik peněz, že na jedno autičko v průměru připadlo tolik korun, jako byl počet všech autíček ve sbírce. Dohodli se na následujícím dělení zisku. Starší bratr si vezme 10 Kč, pak si mladší bratr vezme 10 Kč, pak si opět starší vezme 10 Kč, atd. Případný zbytek (menší než 10 Kč) věnují své sestře. Dopadlo to tak, že poslední desetikorunu si vzal starší bratr. Kolik korun dostala sestra?
Otázka, na kterou ani Děd Vševěd neumí odpovědět
Děd Vševěd přece ví vše, a tedy umí odpovědět na každou otázku. Opravdu? Umíte zformulovat otázku, na kterou ani Děd Vševěd nenajde odpověď?
Úhly v krychli
Na stěnách krychle na obrázku jsou červěně vyznačeny dvě úhlopříčky. Jaký úhel svírají?
Kolik jim je let?
Rodiče mají dvě děti. Otec je starší než matka, oba se znají již od dětství. Určete věk jednotlivých členů rodiny vyjádřený celými čísly, když víte, že součin jejich věků je $44\thinspace950$.
Hra s čepičkami
Představte si následující hru pro libovolně velkou skupinu účastníků. Každému nasadíme na hlavu buď černou nebo bílou čepičku tak, aby nevěděl, jakou barvu čepička má. Úkolem hráčů bude rozřadit se do dvou skupin tak, aby v jedné měli všichni bílé čepičky a ve druhé černé. Hráči spolu nesmějí mluvit, dávat si znamení ani jinak komunikovat. Mohou se však ještě před rozdáním čepiček domluvit. Poradíte jim vhodnou strategii?
Rozměry kašny
Kašna má tvar půkruhu přiléhajícího ke stěně, v jehož středu je půlkulatý sokl se sochou. Potřebujeme zjistit velikost kašny. Tomu, abychom změřili její poloměr, však překáží sokl uprostřed. Šikovný geometr si pomůže. Vyznačí si na stěně bod (bod $B$ na obrázku) ve výšce okraje kašny a ve vzdálenosti 50 cm od okraje kašny (bod $A$ na obrázku) a na okraji kašny vyznačí bod na kolmici ke stěně vedené z bodu $B$ (bod $C$ na obrázku). Změří, že vzdálenost mezi body $B$ a $C$ je 150 cm, a z toho vypočítá poloměr. Jak velký je poloměr kašny?
Volební průzkum
V obci probíhají volby starosty, do kterých byli nominováni čtyři kandidáti: Anna, Břetislav, Cyril a Dorota. Všichni jsou napjatí, jak to dopadne, a tak místní kronikář dělá povolební průzkum tak, že každého z 250 voličů při východu nechá vyplnit dotazník se čtyřmi otázkami, na každou z nichž mají odpovědět buď "ano" nebo "ne":
Volil/a jste Annu?
Volil/a jste Břetislava?
Volil/a jste Cyrila?
Volil/a jste Dorotu?
Kronikář vyhodnotil obdržené odpovědi a zjistil, že na první otázku odpovědělo "ano" 90 lidí, na druhou otázku 100 a na třetí a čtvrtou otázku shodně po 80 lidech. Potíž je v tom, že o obyvatelích obce je známo, že každý z nich buď vždy mluví pravdu, nebo vždy lže. O výsledku volby se tedy kronikář z průzkumu nic nedozví. Zato může zjistit, kolik je mezi těmi 250 voliči lhářů. Víte, kolik jich je?
Honza a duchové
Honza jde vysvobodit princeznu ze zakletého zámku. Přijde na rozcestí, odkud vedou dál dvě cesty. Na rozcestí jsou tři duchové, z nichž jeden vždy mluví pravdu, jeden vždy lže a jeden někdy mluví pravdu a někdy lže. Honza smí položit jen dvě otázky - buď každou jinému duchovi, nebo obě jednomu z nich. Jak má postupovat, aby se od duchů dozvěděl, kterou cestou se má vydat? To není lehká otázka.
Ruská ruleta jinak
Ruská ruleta je hazardní hra, kde v sázce je život. Do šestikomorového bubínkového revolveru se vsune jeden náboj. Hráč válec roztočí, přiloží revolver ke spánku a zmáčkne spoušť. Šance na výhru, tj. na přežití, je samozřejmě $5:6$. Hru trochu pozměníme a revolver nabijeme dvěma náboji vloženými do sousedních komor a necháme na hráčích, jestli před zmáčknutím spouště bubínek roztočí nebo ne. Samozřejmě nebudeme hazardovat a budeme mířit na terč, ne na člověka. Představme si, že první hráč roztočil bubínek, zmáčkl spoušť a revolver nevystřelil. Jste další na řadě. Máte na výběr, jestli bubínek roztočíte nebo ne. Jak se rozhodnete?
Pohyblivé schody
Běhat po pohyblivých schodech v protisměru se zakazuje. My si však vyžádáme výjimečné povolení pro experiment nebo ho prostě uděláme myšlenkově. Představte si, že stoupáte rovnoměrným tempem po pohyblivých schodech a po 30 krocích vystoupáte nahoru. Potom se otočíte, po stejných schodech kráčíte stejným tempem dolů a po 70 krocích sestoupíte dolů. Kolik schodů byste museli vystoupat, kdyby se schody nepohybovaly?
Tři vypínače a tři žárovky
V rámci testu kreativního myšlení vám předloží uzavřenou bednu s víkem, na které jsou tři vypínače. Každý z nich zapíná jednu ze tří žárovek uvnitř bedny. Žárovky jsou vypnuté. Smíte vypínače jakkoli zapínat a vypínat, pak jednou otevřít víko a určit, který vypínač zapíná kterou žárovku. Kdyby tam byly dvě žárovky a dva vypínače, bylo by to prosté – jeden z nich zapneme, otevřeme víko a zjistíme, která žárovka svítí. Se třemi žárovkami však tato strategie nefunguje. Potíž je v tom, že každý vypínač má jen dvě polohy, takže pouhé polohy zapnuto a vypnuto nám poskytnou málo informace. Poradíte si s tím?
Japonský chrám
Tohle je další z historické sbírky japonských úloh san gaku. Lichoběžník $ABCD$ je opsán dvěma dotýkajícím se kružnicím $k_1$, $k_2$. Jeho základny mají délky $|AB|=2a$, $|CD|=2b$.
Určete velikosti poloměrů $r_1$, $r_2$ obou kružnic.
Která číslice je na konci?
Existují "kouzelníci", kteří se živí tím, že na estrádách předvádějí bleskurychlé výpočty s velkými čísly. To zpravidla vyžaduje schopnost hlubokého soustředění, vynikající paměť, tvrdý trénink a znalost užitečných triků. Tato úloha je mnohem snazší, i když tak na první pohled nevypadá. Dokážete rychle určit poslední číslici součtu šestých mocnin čísel 111, 222, 333, 444, 555 a 666?
Čtyři turisté a visutý most
Každý jistě zná úlohu o vlku, koze a zelí, které je třeba přepravit bez úhony přes řeku. Naše úloha je trochu složitější.
Čtyři turisté se vracejí za tmy po dlouhém celodenním výletu v horách a chtějí stihnout poslední autobus, který odjíždí přesně za hodinu. Od autobusu je dělí visutý most nad rozbouřenou řekou, který je úzký a ve velmi špatném stavu, unese jen dvě osoby a nedá se přejít potmě. Turisté mají jen jednu funkční svítilnu, dva z nich si ke všemu zvrtli kotník a mohou jít jen velmi pomalu. Nejrychlejší z turistů dokáže přejít most za 5 minut, druhý za 10 minut a ti zranění budou potřebovat 20, resp. 25 minut.
Mají turisté šanci stihnout autobus?
Archimedova kruhová dvojčata
Je dána půlkružnice $k_1$ o poloměru $r_1$ a v ní dvě půlkružnice $k_2$, $k_3$ se středy ležícími na průměru půlkružnice $k_1$ a s poloměry $r_2$, $r_3$, jejichž součet se rovná $r_1$.
Plocha mezi půlkružnicemi $k_1$, $k_2$, $k_3$ se nazývá arbelos (z řeckého arbylos, ševcovský nůž). V bodě dotyku půlkružníc $k_2$, $k_3$ je vztyčena kolmice k průměru, která dělí arbelos na dvě části. V každé z nich je sestrojena kružnice $k_4$, $k_5$, která se dotýká kolmice a půlkružníc $k_1$, $k_2$, resp. $k_1$, $k_3$. Dokažte, že kružnice $k_4$, $k_5$ jsou shodné.
Úloha pochází z Archimedovy "Knihy lemat", která se dochovala v překladu, jejž pořídil arabský matematik a astronom Thabit Qurra ibn al-Ḥarrānī.
Věk matematikových děti ještě jinak?
Už jsme se jednou setkali s matematikem, který se bavil tím, že nechal kolegu uhodnout věk jeho tří dětí. Zde je jiná varianta.
"Mám tři děti, součin jejich věků vyjádřených celými čísly je 36, součet odpovídá přesně číslu dnešního dne v měsíci," pochlubí se kolegovi.
"To je nedostatečná informace."
"Ano. Nejstarší z nich je syn."
Jak staré jsou děti?
Expedice přes poušť
Velitel připravuje cestu expedice přes poušť. Ví, že k jejímu překonání budou potřebovat šest dnů. Může si obstarat jakékoli množství jídla a pití, výprava však najednou unese zásoby jen na čtyři dny. Jak je třeba cestu naplánovat a kolik zásob jídla a pití celkem bude expedice potřebovat?
Lichoběžník a kružnice
Délky základen rovnoramenného lichoběžníku $ABCD$ jsou v poměru $|AB|:|CD|=3:2$. Kružnice sestrojená nad průměrem $AB$ protíná základnu $CD$ tak, že její část ležící uvnitř kružnice má délku ${1\over2}|CD|$.
V jakém poměru dělí kružnice ramena lichoběžníku?
Velká a malá ručička na hodinách
Starší řidiči si jistě pamatují poučku z autoškoly, že při řízení mají být ruce na volantu v poloze "za deset minut dvě" nebo "deset deset". U dnešních menších volantů s posilovačem řízení se za optimální z hlediska bezpečnosti považuje poloha "tři čtvrtě na tři". To jsou ovšem jen symbolické, přibližné instrukce. Podle nich by totiž obě ruce nebyly ve stejné výšce. Existuje vůbec postavení hodinových ručiček symetrické podle svislé osy? Jaký čas v takovém okamžiku hodiny ukazují? Předpokládejme, že ručičky neposkakují, pohybují se rovnoměrným pohybem.
Jsou v Praze dva lidé se stejným počtem vlasů?
Čtverec a trojúhelník v kruhu
Ke čtverci o straně délky $a$ přiléhá rovnostranný trojúhelník, jak je znázorněno na obrázku. Určete velikost poloměru kružnice $k$ opsané tomuto obrazci.
Přesýpací hodiny
Odměřte 15 minut pomocí dvou přesýpacích hodin, z nichž jedny odměřují 7 minut a druhé 11 minut. Dokážete to jen trojím obrácením hodin?
Kolik je třem dětem let?
Dva matematici, kteří přijeli na konferenci, se po letech potkají na chodbě hotelu a dají se do hovoru.
Karel: "Dlouho jsme se neviděli. Víš, že mám tři děti?"
Pierre: "To je pěkné. Kolik jim je let?"
Karel: „No, to snadno zjistíš. Součin jejich věku je 36 a součet jejich věku je stejný jako číslo tohoto patra."
Pierre po krátkém zamyšlení: "Tato informace mi nestačí."
Karel: "Máš pravdu. Nejstarší dítě je syn."
Pierre: "Aha, tak teď už vím, kolik jim je let."
Jak staré jsou Karlovy děti?
Tangens vnitřních úhlů v trojúhelníku
Může být tangens každého ze tří vnitřních úhlů trojúhelníku kladné celé číslo? Jaký tvar má takový trojúhelník?
Měření času doutnákem
Máte jeden doutnák a krabičku zápalek. Víte jen to, že doutnák po zapálení na jednom konci dohoří přesně za minutu. Doutnák však může hořet nepravidelným tempem. Jak odměříte 15 sekund? (Úloha má teoretické řešení, realizovat ho v praxi nemusí být možné.)
Dcery a synové
Uvažujme všechny rodiny se dvěma dětmi, z nichž jedno je dcera. Pro jednoduchost předpokládejme, že se v populaci rodí stejné množství chlapců jako dívek. S jakou pravděpodobností mají v těchto rodinách i syna?
Dva jehlany
Uvažujme dva jehlany. Jeden má trojúhelníkovou podstavu, druhý čtvercovou. Všechny hrany obou jehlanů mají stejnou délku.
Stěny plášťů obou jehlanů jsou tedy tvořeny shodnými rovnostrannými trojúhelníky. Přiložíme oba jehlany k sobě tak, aby jejich příslušné trojúhelníkové stěny splývaly. Kolik stěn bude mít výsledné těleso?
Souboj pěti gangsterů
Pět gangsterů vyjde před putyku, aby si spolu vyřídili účty. Postaví se tak, že vzdálenost mezi každými dvěma z nich je jiná. Každý zamíří na toho nejbližšího a všichni na povel najednou vystřelí. Nejméně jeden z nich souboj přežije. Umíte to vysvětlit?
Jak sečíst 999 zlomků?
Určitá míra lenosti je užitečná. Než se pustíme do na první pohled úmorného počítání, je dobré se napřed zamyslet. O brzké genialitě jednoho z největších matematiků Carla Friedricha Gausse se traduje, jak jeho učitel chtěl na chvíli zabavit žáky a dal jim sečíst přirozená čísla od jedné do sta. Mladý Gauss ho překvapil téměř okamžitou odpovědí. Místo mechanického sčítání dlouhé řady čísel si uvědomil, že když čísla seřadí do sloupce a napíše vedle nich čísla v opačném pořadí, bude součet v každém řádku 101, a tedy součet čísel v jednom sloupci bude $101\cdot100\cdot{1\over2}=5050$. Přijdete na to, jak rychle sečíst řadu zlomků ${1\over1\cdot2}+{1\over2\cdot3}+{1\over3\cdot4}+\dots+{1\over998\cdot999}+{1\over999\cdot1000}$?
Dvě věže
Dvě válcové věže mají stejnou výšku, ale různý poloměr. Kolem každé věže se od paty po horní ochoz vine výstupní rampa, která má v obou případech stejný stálý sklon. Po které rampě při výstupu na věž ujdeme větší vzdálenost?
Kdo z těch čtyř mluví pravdu?
Čtyři chlapíci o sobě vědí, že každý z nich buď vždy říká pravdu, nebo vždy lže. Na otázku, kolik je mezi nimi lhářů, odpovědí:
První: "Jeden z nás lže."
Druhý: "Dva z nás lžou."
Třetí: "Tři z nás lžou."
Čtvrtý: "Všichni čtyři lžeme."
Poznáte, kdo z nich lže a kdo mluví pravdu?
Čtyři děti
Novomanželé Jan a Jana plánují založení rodiny. Chtěli by mít čtyři děti. Jana si dělá trochu starosti: "A co když to budou čtyři kluci nebo čtyři holky?" Jan ji chlácholí: "To je sice možné, ale málo pravděpodobné. Pokud předpokládáme, že se dívky a chlapci rodí stejně často, pak nejpravděpodobnější sestava je dva kluci a dvě holky." Má pravdu?
Půlkruh v lichoběžníku
Lichoběžník $ABCD$ má tu vlastnost, že střed kružnice dotýkající se základny $BC$ a ramen $AB$, $CD$ leží na základně $CD$. Určete délku základny $|CD|=d$, jsou-li dány délky ramen $|AB|=a$, $|CD|=c$.
Diplomatická pošta
Agent pracující na vyslanectví chce poslat do centrály citlivé dokumenty. Protože ví, že kontrarozvědka tajně otvírá diplomatickou poštu, pořídí si bezpečnostní schránkou s visacím zámkem, od kterého má klíč pouze on. Poslat klíč by nebylo bezpečné. Jak to ve spolupráci s centrálou provede, aby dokumenty doručil s jistotou, že je nikdo nepovolaný neviděl? (Jde o logickou úvahu, nehledejte násilná řešení ve stylu bondovek. Předpokládejte, že schránku ani zámek nelze otevřít jinak než použitím klíče.)
Kolik je dětem let?
Dva matematici, kteří přijeli na konferenci, se po letech potkají na chodbě hotelu a dají se do hovoru.
Karel: "Dlouho jsme se neviděli. Víš, že mám tři děti?"
Pierre: "To je pěkné. Kolik jim je let?"
Karel: „No, to snadno zjistíš. Součin jejich věku je 36 a součet jejich věku je stejný jako číslo tohoto patra."
Pierre po krátkém zamyšlení: "Tato informace mi nestačí."
Karel: "Máš pravdu. Nejstarší dítě je syn."
Pierre: "Aha, tak teď už vím, kolik jim je let."
Jak staré jsou Karlovy děti? Věk dětí je samozřejmě vyjádřen celými čísly.
San gaku 1
San gaku jsou japonské geometrické úlohy a tvrzení, které byly během éry Edo v 17. až 19. století malovány na dřevěné desky a věnovány šintostickým svatyním a budhistickým chrámům jako oběť nebo jako úlohy pro mnichy. Toto je příklad:
Mějme rovnoramenný trojúhelník $ABC$ s délkami stran $b=|AC|=|BC|$ a $2c=|AB|$. Trojúhelník má vepsanou kružnici $k_1$ o poloměru $r_1$, která se dotýká stran $AC$, $BC$ trojúhelníku v bodech $D$, $E$. Trojúhelníku $DEC$ je obdobně vepsána kružnice $k_2$ o poloměru $r_2$. Kružnice $k_3$ o poloměru $r_3$ se dotýká obou kružnic $k_1$, $k_2$ (viz obrázek).
Určete poměr poloměrů $r_2 : r_3$.
Džbán a dvě sklenice
Máte džbán s vodou, do kterého se vejde víc než 1 l vody, a dvě sklenice o objemu 0,5 l a 0,2 l. Vaším úkolem je vodu ze džbánu rozlít do sklenic tak, aby v každé z nich bylo přesně 0,2 l vody.
Zbytky při dělení
Najděte nejmenší celé kladné číslo, které při dělení 2 dá zbytek 1, při dělení 3 dá zbytek 2, při dělení 4 dá zbytek 3, při dělení 5 dá zbytek 4, při dělení 6 dá zbytek 5, při dělení 7 dá zbytek 6, při dělení 8 dá zbytek 7, při dělení 9 dá zbytek 8, při dělení 10 dá zbytek 9 a při dělení 11 dá zbytek 10.
Prádelní šňůry
Na dvoře jsou čtyři kůly pro sušení prádla uspořádané do čtverce. Děti si hrály s prádelní šňůrou, natáhly ji od tří kůlů doprostřed a svázaly tak, jak je na obrázku vyznačeno modrými čarami. Tři úseky šňůry od kůlů k uzlu uprostřed jsou dlouhé $a$, $b$, $c$.
Jak dlouhá bude šňůra od uzlu ke čtvrtému kůlu (na obrázky vyznačeno červeně)?
Poutník na rozcestí
Poutník přijde na rozcestí, z něhož vedou cesty ke dvěma městům, o kterých je známo, že v jednom žijí lidé, kteří vždy říkají pravdu, a ve druhém lidé, kteří vždy lžou. Na rozcestí potká člověka z jednoho z těch dvou měst. Jakou otázku mu položí, aby se bezpečně dozvěděl, do kterého města která cesta vede?
Sultánův poklad
Sultán měl 6 synů. Měl také palác s mnoha sklepními kobkami, ve kterých byl ukryt poklad. V každé kobce bylo tolik truhlic, jako kobek v paláci. Každá truhlice obsahovala tolik zlaťáků mincí, kolik truhlic bylo v kobce. Sultán si zavolal pokladníka a řekl mu, že dostane jednu truhlici se zlaťáky, když dokáže rozdělit zbývající poklad svým 6 synům rovným dílem. Když to nedokáže, přijde o hlavu. Jakou šanci měl pokladník, že si zachrání život a získá truhlici se zlaťáky?
Jak spravedlivě rozdělit dort?
Anička, Bětka a Cecilka dostaly dort a chtějí si ho spravedlivě rozdělit. Kdyby jedna z nich dort rozkrájela a každá by si jednoduše vzala jeden kus, mohla by si některá z nich myslet, že všechny kusy nebyly stejně velké a na ni zbyl ten nejmenší. Jak mají postupovat, aby si žádná z nich nemohla právem stěžovat, že dostala méně než třetinu dortu?
Neposedný pes
Muž pracuje 10 km od domova a vrací se z práce domů na kole. Ve stejném okamžiku, kdy vyráží na cestu domů, jeho mu žena vychází pěšky naproti se svým psem. Muž jede rychlostí 15 km/h, žena jde rychlostí 5 km/h. Pes, který běhá rychlostí 20 km/h, okamžitě vyrazí pánovi naproti. Jakmile k němu doběhne, otočí se a běží zpět ke své paní. Když k ní dorazí, běží opět k pánovi. To se opakuje až do okamžiku, kdy se muž se ženou potkají. Kolik toho pes celkem naběhá?
Doutnáky
Máte dva doutnáky a zapalovač. Víte jen to, že každý z doutnáků po zapálení na jednom konci dohoří přesně za minutu. Doutnák může hořet nepravidelným tempem. Jak pomocí těch dvou doutnáků odměříte 45 sekund?
S jakou pravděpodobností je druhé z dětí dcera?
Předpokládejme, že chlapci se rodí se stejnou pravděpodobností jako dívky, a uvažujme všechny rodičovské páry, které mají dvě děti, z nichž jedno je syn. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný takový pár má i dceru?
Přijdou tři logici do baru
Přijdou tři logici do baru a když je barman osloví otázkou "Všichni pivo, pánové?", první ihned odpoví: "Nevím". Druhý také hned řekne: "Nevím". Třetí se po chvilce přemýšlení rozzáří a řekne: "Ano". Asi jste se někdy setkali se situací, kdy na dotaz typu "Půjdeme do kina nebo zůstaneme doma?" partner odpoví "Ano!" a tázajícího uvede do rozpaků nebo ho přímo rozčílí. Barman však nezaváhal a splnil objednávku. Co hostům nalil a proč?
Falešné mince
Král se dozvěděl, že se ho mincmistr pokusil ošidit a vyrobil celý pytel mincí, které váží o 1 gram méně než předepsaných 10 gramů. Nechal z mincovny přinést všechny pytle s vyrobenými mincemi, předvolal si mincmistra a řekl mu, že když nedokáže jedním vážením zjistit, v kterém pytli jsou ty lehčí mince, bude popraven. Jak si mincmistr zachrání život?
Trik se třemi kartami
Představte si, že vás někdo vyzve, abyste si s ním zahráli následující hru. Ukáže vám tři speciální dvoustranné karty. Jedna má na obou stranách pik, druhá má na jedné straně pik a na druhé káro, třetí má na obou stranách káro:
Pak ty karty zamíchá v klobouku a požádá, abyste jednu kartu vytáhli a položili ji na stůl tak, aby nikdo z vás neviděl její druhou stranu. Pak vám nabídne sázku, že na druhé straně je stejná barva. Aby podpořil vaši chuť si vsadit, předloží úvahu, že ta karta nemůže mít piky na obou stranách, takže je to buď karta s pikem a kárem nebo se dvěma káry. Jedna z nich má na rubu pik, druhá káro, takže šance jsou vyrovnané. Vsadíte si?
Čaj s mlékem
Mám dvě stejné sklenice, jedna je zčásti naplněna čajem, druhá obsahuje stejné množství mléka. Ze sklenice s mlékem odleju trochu do sklenice s čajem a zamíchám. Pak odleju ze směsi čaje s mlékem do sklenice s mlékem tolik, aby v obou sklenicích bylo stejné množství tekutiny. V první sklenici je tedy čaj zředěn mlékem, ve druhé sklenici je mléko zředěno čajem. Je v první sklenici více mléka než čaje ve druhé sklenici, nebo je naopak ve druhé sklenici více čaje než mléka v první?
Černé a bílé čepičky
Učitel matematiky procvičuje logické myšlení. Vyvolá tři žáky a ukáže jim tři černé a dvě bílé čepičky. Pak jim řekne, aby zavřeli oči, nasadí každému jednu čepičku na hlavu a zbývající dvě schová. Pak je vyzve, aby otevřeli oči a řekli, jakou barvu má čepička na jejich vlastní hlavě. Po chvíli uvažování jeden z nich zvedne ruku a oznámí barvu své čepičky. Jakou barvu měla jeho čepička a jak na to přišel?
Dva prstence
Z hliníkové koule o průměru 20 mm uděláme prstenec tak, že do ní přesně jejím středem vyvrtáme otvor takovým způsobem, aby výška prstence byla 10 mm. Pak stejným způsobem uděláme prstenec o výšce 10 mm z hliníkové koule o průměru 40 mm. Který z prstenců bude vážit víc?
Jak rozlámat tabulku čokolády?
Tabulka čokolády se skládá ze $4 \cdot 6 = 24$ čtverečků. Pokud ji chcete úplně rozdělit na 24 samostatných čtverečků, můžete postupovat různými způsoby. Například můžete nejprve pěti lomy vytvořit 6 čokoládových proužků po 4 kusech. Chcete-li získat jednotlivé čtverečky, musíte rozlomit každý z těchto proužků třikrát. Celkem uděláte $5 + 3 \cdot 6 = 23$ lomů. Je možné to zvládnout s méně než 23 lomy obratnějším postupem (bez toho, že byste lámali několik kusů čokolády najednou)?
Barevné koule
U přijímacího pohovoru vám ukážou tři krabice. Řeknou vám, že v jedné krabici jsou jen zelené koule, ve druhé jsou jen modré koule a ve třetí jsou zelené i modré koule. Na jedné krabici je napsáno „zelené“, na druhé „modré“ a na třetí „zelené a modré“. Nápis ani na jedné krabici však neodpovídá obsahu. Máte za úkol určit, co je v které krabici, ale smíte sáhnout jen do jedné krabice a vytáhnout z ní jen jednu kouli. Dokážete to?
Fotbal a narozeniny
Odhadovat pravděpodobnost nějakého jevu je často ošidné. Oblíbeným příkladem je otázka, s jakou pravděpodobností se v určité skupině lidí vyskytují dva, kteří mají narozeniny ve stejný den. Jak je tomu např. v případě dvou fobalových mužstev na hřišti? Vsadili byste si na to, že dva z hráčů mají narozeniny ve stejný den?
Prodloužený provaz
a) Kolem válce o průměru 10 cm obtočíme provaz a vyznačíme na něm délku obvodu válce. Vezmeme provaz o 1 m delší a vytvoříme z něj kruh kolem válce tak, aby byl od válce všude ve stejné vzdálenosti. Jak daleko od válce provaz bude?
b) Představme si, že bychom totéž dokázali udělat se Zeměkoulí na rovníku. O kolik by se prodloužený provaz zvedl na zem? Podlezla by ho kočka?
Spojování řetězu
Máte šest kusů řetězu, každý o pěti článcích. Jaký nejmenší počet článků je třeba rozříznout a opět svařit, abyste získali uzavřený kruhový řetěz o třiceti článcích?
Hippokratovy měsíčky
Snad každý zná jméno velkého řeckého matematika Eukleida (asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l.), autora slavných
Základů, nejúspěšnější knihy o matematice v historii. Méně je znám jeho předchůdce z 5. stol. př. n. l., Hippokratés z Chiu, který rovněž shrnul soudobé geometrické poznatky v knize Základy. Ta se téměř celá ztratila, informace o Hippokratově geometrii čerpáme především od jeho následovníků. Hippokratés je autorem pěkné úlohy, které se říká Hippokratovy měsíčky: Do půlkruhu vepišme pravoúhlý trojúhelník, jehož přeponou $c$ je průměr půlkruhu. (Podle Thaletovy věty leží třetí vrchol u pravého úhlu na oblouku půlkruhu.) Nad každou z odvěsen $a$, $b$ sestrojme půlkruh vně trojúhelníku. Tři půlkružnice vymezí dva Hippokratovy měsíčky. Určete velikost jejich celkové plochy. Hippokratés to dokázal před 2500 lety!
10 loupežníků
Tlupa deseti loupežníků chce ukrýt uloupený poklad do truhlice. Protože si samozřejmě navzájem nedůvěřují, náčelník rozhodne, že se truhlice musí zajistit visacími zámky tak, aby se dala otevřít, jen když se u toho sejdou aspoň čtyři loupežníci. Kolik různých zámků na truhlici budou muset pověsit a kolik klíčů budou potřebovat?
Na jih, na východ, na sever a zpět
Člověk vyrazí na jih, po jednom kilometru zahne na východ, po dalším kilometru zahne na sever a octne se ve výchozím bodu. Kde na Zemi je takový výchozí bod?
O pomalejšího koně
Král zavolá své dva syny a oznámí jim, že království po něm převezme ten, jehož kůň urazí vzdálenost do sousedního města za delší dobu. Kralevicové sednou na své koně a záměrně je zadržují, aby jeden nepředběhl druhého. Brzy zjistí, že takhle do cíle nikdy nedojedou. Kolem jde mudrc a ptá se, proč se tváří tak zoufale. Když mu vysvětlí situaci, mudrc jim řekne, aby sesedli s koní, a chvíli s nimi rozmlouvá. Nato oba nasednou na koně, a co nejrychleji uhánějí k sousednímu městu. Co jim mudrc poradil?
Káva s mlékem
Mám šálek černé kávy. Upiju z něj 1/6 a doleju mlékem. Upiju 1/3 a doleju mlékem. Upiju 1/2, doleju mlékem a vypiju celý šálek. Kolik kávy a kolik mléka jsem vypil?
Dělení pozemku
K pozemku tvaru ostroúhlého trojúhelníku ABC vede přístupová cesta, která ústí v bodě P ležícím na straně AB, blíž k bodu B. Majitel chce pozemek rozdělit mezi dva syny tak, aby obě části měly stejný obsah, aby obě byly přístupné z přístupové cesty a aby dělicí hranice byla přímá. Hranice tedy bude tvořena úsečkou PQ, kde Q je vhodný bod na straně AC. Umíte najít polohu bodu Q konstrukcí bez výpočtu?
Kdo rozbil okno?
Ve škole někdo rozbil okno. Školník zadržel čtyři chlapce, kteří v té době byli na dvoře. Tři z nich jsou notoričtí lháři, jen jeden mluví pravdu. Toto jsou jejich výpovědi:
Adam: "Já jsem okno nerozbil."
Béďa: "Adam lže."
Cyril: "Béďa lže."
David: "Okno rozbil Béďa."
Kdo z nich je pravdomluvný a kdo rozbil okno?
